Cho a,b,c,d là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2=2,c^2+d^2+25=6c+8d\). Tìm GTLN của P=3c+4d-(ac+bd)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 6 2020
\(c^2+d^2+25=6c+8d\)
\(\Leftrightarrow\left(c^2-6c+9\right)+\left(d^2-8d+16\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-3=0\\d-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\d=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=25-3a-4b=25-\left(3a+4b\right)=25-Q\)
Xét \(Q=3a+4b\Rightarrow Q^2=\left(3a+4b\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a^2+b^2\right)=25.2=50\)
\(\Rightarrow Q^2\le50\Rightarrow-5\sqrt{2}\le Q\le5\sqrt{2}\Rightarrow-Q\le5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\le25+5\sqrt{2}\)
\(P_{max}=25+5\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2\\\frac{a}{3}=\frac{b}{4}\\3a+4b=-5\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{3\sqrt{2}}{5}\\b=-\frac{4\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2019
\(c^2-6c+9+d^2-8d+16=0\Leftrightarrow\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\d=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=25-\left(3a+4b\right)\)
Mặt khác \(\left(3a+4b\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a^2+b^2\right)=50\)
\(\Rightarrow-5\sqrt{2}\le3a+4b\le5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\le25+5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P_{max}=25+5\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{-3\sqrt{2}}{5}\\b=\frac{-4\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right.\)
CH
0
QM
0
PT
16 tháng 1 2021
từ hệ điều kiện, bằng cách cộng theo vế ta được: 3(a^2+b^2+c^2+d^2)=42+d^2⇒3p≥42⇔p≥14Suy ra pmin=14 đạt được khi d=0 và khi đó hệ điều kiện có dạng:
{a2+2b2+3c2=36(1),2a2+b2=6(2)
Từ (2) ta nhận được {bchẵn,0≤b≤2⇔[b=0b=2Khi đó:-Với b=0 thì (2) có dạng 2a^2=6, không có giá trị nguyên của a thỏa mãn.-Với b=2 thì hệ có dạng: {a^2+3c^2=28, 2a^2=2 mà a≥0,c≥0 ⇒{a=1c=3Vậy pmin=14 đạt được khi a=1,b=2,c=3,d=0
HP
16 tháng 1 2021
Từ giả thiết suy ra \(3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-d^2=42\)
\(\Leftrightarrow3Q-d^2=42\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{42+d^2}{3}\ge\dfrac{42}{3}=14\)
\(\Rightarrow minQ=14\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=0\\a^2+2b^2+3c^2=36\left(1\right)\\2a^2+b^2=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(2\right)\Rightarrow b^2⋮2\Rightarrow b⋮2\)
Vì \(b^2=6-2a^2\le6\Rightarrow0\le b\le\sqrt{6}\Rightarrow b\in\left\{0;2\right\}\)
TH1: \(b=0\) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+3c^2=36\\2a^2=6\end{matrix}\right.\Rightarrow a=\sqrt{3}\left(l\right)\)
TH2: \(b=2\) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+3c^2=28\\2a^2=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\a=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(minQ=14\Leftrightarrow\left(a;b;c;d\right)=\left(1;2;3;0\right)\)
TD
1