Question

[crewmate]

Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho ác số 7p+q và pq+11 cũng là các số nguyên tố 

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Nếu cả \(p,q\)đều là số lẻ thì \(pq+11\)là số chẵn nên không thể là số nguyên tố. 

Nếu \(p=2\):

\(q+14\), \(2q+11\)đều là số nguyên tố. 

Với \(q=3\)thỏa mãn. 

Với \(q>3\)thì \(q=3n+1\)hoặc \(q=3n+2\).

- \(q=3n+1\)thì \(q+14=3n+15⋮3\).

- \(q=3n+2\)thì \(2q+11=2\left(3n+2\right)+11=6n+15⋮3\).

Nếu \(q=2\):

\(7p+2\), \(2p+11\)đều là số nguyên tố. 

Xét các trường hợp của \(p\)tương tự trường hợp \(p=2\).

Kết luận: có các trường hợp thỏa mãn là \(\left(p,q\right)\in\left\{\left(2,3\right),\left(3,2\right)\right\}\)