Question

[Nguyễn Tuấn]

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gởi Ax, By là các tia vuông góc với AB.(Ax và By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) l, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt A tại C và cắt By tại D. a) Cmr CD = AC + BD và góc COD = 90° b) AD cắt BC tại N. Cm: MN//BD. C) Tích AB.CD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. d) gọi H là trung điểm của AM. Cm: ba điểm O, H, C thẳng hàng. Giúp với ạ!

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét (O) có 

OA là bán kính

CA⊥OA tại A(gt)

Do đó: CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

Xét (O) có 

OB là bán kính

BD⊥BO tại B(gt)

Do đó: DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

Xét (O) có 

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(cmt)

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(cmt)

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CM+MD=CD(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

và MD=DB(cmt)

nên CD=AC+BD(đpcm)

Ta có: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(cmt)

nên \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Ta có: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(cmt)

nên \(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)(cmt)

và \(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)(cmt)

nên \(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=90^0\)

hay \(\widehat{COD}=90^0\)(đpcm)