Cho tam giác ABC vuông tại A ; AH vuông góc với BC tại H . Điểm E đối xứng với H qua AB , điểm F đối xứng với H qua AC . AB cắt EH tại M , AC cắt HF tại Na. Tứ giác AMHN là hình gì ? Vì sao ?b. Chứng minh E đối xứng với F qua A c. Kẻ trung tuyến AI của tam giác ABC .Chứng minh AI vuông góc...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A ; AH vuông góc với BC tại H . Điểm E đối xứng với H qua AB , điểm F đối xứng với H qua AC . AB cắt EH tại M , AC cắt HF tại N
a. Tứ giác AMHN là hình gì ? Vì sao ?
b. Chứng minh E đối xứng với F qua A
c. Kẻ trung tuyến AI của tam giác ABC .Chứng minh AI vuông góc MN
a/
\(AN\perp AB;MH\perp AB\)=> AN // MH
\(AM\perp AC;NH\perp AC\)=> AM // NH
=> AMHN là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Ta có \(\widehat{MAN}=90^o\)
=> AMHN là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc băng 90 độ là HCN)
b/ Nối A với E; A với F
Xét tg vuông AME có \(\widehat{AEM}+\widehat{EAM}=90^o\) (1)
Ta có ME=MI; \(AM\perp EH\) => tg AEH cân tại A (tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường cao là tg cân)
\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{AHM}\) Mà \(\widehat{AHM}=\widehat{HAN}\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{HAN}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{EAM}+\widehat{HAN}=90^o\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\widehat{FAN}+\widehat{HAM}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{EAM}+\widehat{HAN}+\widehat{FAN}+\widehat{HAM}=\widehat{FAE}=180^o\) => E; A; F thẳng hàng
Ta có
tg AEH cân tại A => EA=HA
tg AHF cân tại A => FA=HA
=> EA=FA
=> E đối xứng F qua A
c/ Gọi O là giao của AH và MN; K là giao của AI và MN
Xét tg vuông ABC có
\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\) (1)
\(AI=IB=IC=\frac{BC}{2}\) (trung tuyến thuộc cạnh huyền)
Xét tg vuông AHB có
\(\widehat{B}+\widehat{BAH}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{BAH}\)(2)
Ta có IA=IB => tg AIB cân tại I \(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{BAI}\) (3)
Xét tg cân AOM có \(\widehat{BAH}=\widehat{AMN}\) (4)
Từ (1) (2) (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{AMN}+\widehat{BAI}=90^o\Rightarrow\widehat{AKM}=90^o\Rightarrow AI\perp MN\)