Question

[Umi]

Giúp mình câu này nhé

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(\left(x^2-2mx+m-1\right)\left(x^2-3x+2m\right)=0\)(1) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-2mx+m-1=0,\left(2\right)\\x^2-3x+2m=0,\left(3\right)\end{cases}}\)

Để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình (2) và (3) đều có hai nghiệm phân biệt, trong đó không có nghiệm nào trùng nhau. 

(2) có hai nghiệm phân biệt khi: 

\(\Delta_2'=m^2-\left(m-1\right)=m^2-m+1>0\)(đúng với mọi \(m\)) 

(3) có hai nghiệm phân biệt khi: 

\(\Delta_3=3^2-4.2m=9-8m>0\Leftrightarrow m< \frac{9}{8}\)

GIả sử phương trình (2) và (3) có nghiệm chung là \(x=x_0\)

Khi đó ta có: \(x_0^2-2mx_0+m-1=x_0^2-3x_0+2m\)

\(\Leftrightarrow x_0\left(2m-3\right)=-1-m\)

- \(2m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\)(vô lí) 

- \(2m-3\ne0\Leftrightarrow m\ne\frac{3}{2}\)

\(x_0=\frac{-m-1}{2m-3}\)

Thế vào phương trình (3) ta được: 

\(\left(\frac{m+1}{2m-3}\right)^2+\frac{3\left(m+1\right)}{2m-3}+2m=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\).

Vậy \(m< \frac{9}{8}\)và \(m\ne1\)thì thỏa mãn ycbt.