Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(0;0;-1\right),B\left(-1;1;0\right),$ $C\left(1;0;1\right).$ Tìm điểm M sao cho $3M{A}^2+2M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.  $M\left(\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1\right)$            

B.  $M\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2};2\right)$ 

C.  $M\left(-\frac{3}{4};\frac{3}{2};-1\right)$ 

D.  $M\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1\right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Gọi I x I ; y I ; z I  thỏa mãn điều kiện  3 I A ¯ + 2 I B ¯ − I C ¯ = 0 ¯ ⇒ I − 3 4 ; 1 2 ; − 1

Ta có P = 3 M A 2 + 2 M B 2 − M C 2 = 3 M I ¯ + I A ¯ 2 + 2 M I → + I B ¯ 2 − M I ¯ + I C ¯ 2  

= 4 M I 2 + 2 M I ¯ 3 I A ¯ + 2 I B ¯ − I C ¯ ⏟ 0 + 3 I A 2 + 2 I B 2 − I C 2 = 4 M I 2 + 3 I A 2 + 2 I B 2 − I C 2  

Suy ra P min ⇔ M I   min   ⇒ M  trùng với điểm I. Vậy  M − 3 4 ; 1 2 ; − 1