Cho hàm số
f
(
x
)
=
x
3
+
3
a
x
2
+
3
x
+
3
có đồ thị (C) và
g
(
x
)
=
x
3
+
3
b
x
2
+
9
x
+
5
có đồ thị (H), với a, b lá các tham số thực. Đồ thị (C), (H) có chung ít nhất 1 điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
=
a
+
2
b
A.
21
.
B.
2
...
Đọc tiếp
Cho hàm số f ( x ) = x 3 + 3 a x 2 + 3 x + 3 có đồ thị (C) và g ( x ) = x 3 + 3 b x 2 + 9 x + 5 có đồ thị (H), với a, b lá các tham số thực. Đồ thị (C), (H) có chung ít nhất 1 điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + 2 b
A. 21 .
B. 2 6 + 6.
C. 3 + 5 3 .
D. 2 6 .
Đáp án A
Xét hệ phương trình
f ' ( x ) = 3 x 2 + 6 a x + 3 = 0 ( * ) g ' ( x ) = 3 x 2 + 6 b x + 9 = 0 ⇒ 6 x ( a − b ) = 6 ⇔ x = 1 a − b .
Áp dụng công thức nghiệm do phương trình (*) ta có x = − a ± a 2 − 1 với a ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ 1 ; + ∞ .
*Trường hợp 1: x = − a + a 2 − 1 .
Ta có
1 a − b = − a + a 2 − 1 ⇔ b = a + 1 a − a 2 − 1 = 2 a + a 2 − 1
Suy ra
P = a + 2 b = a + 4 a + 2 a 2 − 1 ≥ 5 a + 2 a 2 − 1
Xét hàm số
f ( x ) = 5 x + 2 x 2 − 1 ; x ∈ − ∞ ; − 1 ∪ 1 ; + ∞ .
Đạo hàm
f ' x = 5 + 2 x x 2 − 1 ; f ' x = 0 ⇔ 5 x 2 − 1 = − 2 x ⇔ x ≤ 0 25 x 2 − 1 = 4 x 2
⇔ x = − 5 21 (thỏa mãn).
Lại có f − 5 21 = − 21 ⇒ P ≥ 21 (lập bảng biến thiên của hàm số f x ).
*Trường hợp 2:Tương tự, ta tìm được P ≥ 21 .