Question

[Pham Trong Bach]

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có A B = 2 3  và A A ' = 2 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng A B ' C '  và B C M N .

A. 13 65

B. − 13 65

C. 13 130

D. − 13 130

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A.

Cách 1: Gọi P là giao điểm của  BN và A'B'=>P là trọng tâm Δ A ' B ' B .

Q là giao điểm của CM và A'C'=>Q là trọng tâm  Δ A ' C ' C

⇒ P Q / / B ' C '  Ta có A B ' C ' ∩ B C M N = P Q .

Gọi H là trung điểm của B'C' và I là giao điểm của AH và PQ.

I là trung điểm của PQ.

Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K

=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN.

Ta có   A B ' = A C ' ⇒ Δ A B ' C ' cân tại A ⇒ A H ⊥ B C ⇒ A I ⊥ P Q .

Lại có I J ⊥ P Q ⇒  Góc giữa A B ' C ' và   B C M N là góc giữa IJ và IA.

Ta có:

A C ' = A C 2 + C C ' 2 = 2 3 2 + 2 2 = 4

⇒ A H = A C ' 2 − H C ' 2 = 4 2 − 3 2 = 13 ⇒ A I = 2 3 A H = 2 13 3

B N = B B ' 2 + B ' N 2 = 2 2 + 3 2 = 7

K J = N E = B N 2 − E B 2 = 7 − 3 4 = 5 2 ⇒ I J = 2 3 K J = 5 3

Lại có A J = 2 3 . 3 2 = 3

Trong  Δ A I J   :

cos A I J ^ = I J 2 + I A 2 − A J 2 2. I J . I A = 25 9 + 4.13 9 − 9 2. 5 3 . 2 13 3 = − 13 65 .

 Cosin của góc giữa A B ' C '  và  B C M N   là  13 65

Cách 2: (Tọa độ hóa)

Gọi T là trung điểm AC. Đặt  M = 0 ; 0 ; 0 , B ' 3 ; 0 ; 0 , C ' 0 ; 3 ; 0 , T 0 ; 0 ; 2

⇒ A 0 ; − 3 ; 2 , B 3 ; 0 ; 2 , C 0 ; 3 ; 2 ⇒ M B → = 3 ; 0 ; 2 , M C → = 0 ; 3 ; 2

  n → = M B → , M C → = 2 3 ; 6 ; 6 3 là một vecto pháp tuyến của .

Lại có   A B ' → = 3 ; 3 ; − 2 , A C ' → = 0 ; 2 3 ; − 2

  ⇒ n ' → = A B → , A C → ' = 2 3 ; 6 ; 6 3 là một vecto pháp tuyến của A B ' C ' .

Gọi α  là góc giữa A B ' C '  và M N B C .

Ta có:

cos α = cos n → ; n ' → ^ = − 2 3 .2 3 + − 6 .6 + 3 3 .6 3 − 2 3 2 + − 6 2 + 3 3 2 . 2 3 2 + 6 2 + 6 3 2 = 13 65