Question

[Pham Trong Bach]

Có tất cả bao nhiêu cặp số thực (x;y) sao cho  $x\in [-1;1]$ và $\ln {\left(x-y\right)}^x-2017y+e^{2018}$. Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức $P=e^{2018}\left(y+1\right)x^2-2018x^2$ với $\left(x;y\right)\in S$ đạt được tại $\left(x_0;y_0\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.  $x_0\in \left(-1;0\right)$

B.  $x_0=-1$

C.  $x_0=1$

D.  $x_0\in [0;1)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Ta có ln x - y 2 - 2017 x = ln x - y y - 2017 y + e 2018 ⇔ x - y ln x - y - 2017 x - y = e 2018  

⇔ ln x - y - e 2018 x - y - 2017 = 0 .  Xét hàm số f t = ln t - e 2018 t - 2017 ,có  f ' t = 1 t + e 2018 t 2 > 0 ; ∀ t > 0

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên 0 ; + ∞ mà  f e 2018 = 0 ⇒ t = x - y = e 2018

Khi đó  P = e 2018 x 1 + x - e 2018 - 2018 x 2 → g x  

Lại có  g ' x = e 2018 x x 2019 + 2018 x - 2018 e 2018 - 4036 x ⇒ g ' ' < 0 ; ∀ x ∈ - 1 ; 1  

Nên g'(x) là hàm số nghịch biến trên [-1;1] mà  g ' - 1 = e - 2018 + 2018 > 0

Và g ' 0 = 2019 - 2018 e 2018 < 0  nên tồn tại x 0 ∈ - 1 ; 0 sao cho  g ' x 0 = 0

Vậy m a x - 1 ; 1 g x = g x 0  hay giá trị lớn nhất của P đạt được khi x 0 ∈ - 1 ; 0 .