Cho a,b,c > 0 thoả a^2+b^2+c^2=23/12
Cmr 1/a +1/b -1/c < 1/abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
3
31 tháng 3 2017
Ta có: \(a^2,b^2,c^2\le1\Leftrightarrow-1\le a,b,c\le1\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\ge0\left(1\right)\)
Ta lại có: \(\frac{\left(a+b+c+1\right)^2}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+1+2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+1+2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c+1\ge0\left(2\right)\)
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được
\(abc+2\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right)\ge0\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=0\\c=-1\end{cases}}\) và các hoán vị của nó
30 tháng 3 2017
2(1+a+b+c+ab+bc+ac)
=2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)
=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)+2(a+b+c) +1
=(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1
=(a+b+c+1)^2 >= 0
đúng thì cho 1 tíck nhé
8 tháng 5 2015
a2 + b2 + c2 < 2
<=> a2 + b2 + c2 < a+ b + c
<=> (a2 - a )+ (b2 - b )+ (c2 - c) < 0
<=> a.(a - 1) + b.(b -1) + c.(c -1) < 0 (*)
Điều này luôn đúng với mọi 0<a<1; 0<b<1; 0<c<1 vì 0<a<1 => a- 1 < 0 => a.(a-1) < 0
tương tự b(b - 1) < 0; c(c -1) < 0
Vậy (*) => đpcm
PN
8 tháng 4 2016
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho từng cặp số không âm, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\) \(\left(1\right)\)
\(b^2+1\ge2b\) \(\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(a^2+2b^2+1\ge2ab+2b\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2\)
Vì hai vế của bất đẳng thức trên cùng dấu (do \(a,b,c>0\)) nên ta nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(b\) \(\rightarrow\) \(c\) \(\rightarrow\) \(a\) \(\rightarrow\) \(b\), ta có:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\ge\frac{1}{2bc+2c+2}\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\ge\frac{1}{2ca+2a+2}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Mặt khác, xét từng phân thức \(\frac{1}{ab+b+1};\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{ca+a+1}\) kết hợp với giả thiết đã cho, nghĩa là \(abc=1,\) ta có:
\(\frac{1}{ab+b+1};\) \(\frac{1}{bc+c+1}=\frac{abc}{bc+c+abc}=\frac{ab}{ab+b+1}\) và \(\frac{1}{ca+a+1}=\frac{abc}{ca+a+abc}=\frac{bc}{bc+c+1}=\frac{bc}{bc+c+abc}=\frac{b}{ab+b+1}\)
Do đó, \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1\) \(\left(\text{**}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) và \(\left(\text{**}\right)\) suy ra \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
9 tháng 9 2018
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
DO:
\(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge9+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=9+21=30\)
\(\Rightarrow DPCM\)
Tích t vs ku