Question

[Nông Hồng Hạnh]

CM rằng : nếu a và b không chia hết cho 3 thì a⁶-b⁶ chia hết cho 9

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Vì  \(a\)  không chia hết cho  \(3\) nên  \(a\) có dạng \(a=3k+1\) hoặc \(a=3k+2\)   \(\left(k\in Z\right)\)

Nếu  \(a=3k+1\)  thì  \(a^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\)  chia  \(3\)  dư  \(1\)   

Nếu  \(a=3k+2\)  thì  \(a^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+9k+8\)  chia  \(3\)  dư  \(1\)   

Vậy,  nếu  \(a\)  không chia hết cho  \(3\)   thì  \(a^2\)  chia  \(3\)  dư  \(1\)   \(\left(1\right)\)

Tương tự,   ta cũng có nếu  \(b\) không chia hết cho  \(3\) thì  \(b^2\) chia  \(3\)  dư  \(1\)  \(\left(2\right)\)

Từ   \(\left(1\right)\) và  \(\left(2\right)\) , suy ra  \(a^2-b^2\)  chia hết cho  \(3\)   \(\left(3\right)\)

Ta có:   \(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+a^2b^2+\left(b^2\right)^2\right]=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2-2a^2b^2+\left(b^2\right)^2+3a^2b^2\right]\)

\(=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\right]\)

Theo  chứng minh trên,   \(a^2-b^2\)  chia hết cho  \(3\)  nên   \(\left(a^2-b^2\right)^2\)  chia hết cho  \(3\)  

Lại có:   \(3a^2b^2\)  chia hết cho  \(3\)  với mọi  \(a;b\in Z\)

nên   \(\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\)  chia hết cho  \(3\)   \(\left(4\right)\)

Từ  \(\left(3\right)\)  và  \(\left(4\right)\)  suy ra  \(\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\right]\)  chia hết cho   \(3.3\)  hay  \(a^6-b^6\)  chia hết cho  \(9\)  \(\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[nguyen van hai]

a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)       dung hang dang thuc

Vi a,b ko chia het cho 3 (1)

suy ra TH1 a=3k+1, b=3q+2 hoacTH2 a=3k+2, b=3q+1

TH1

a+b=3k+3q+3 chia het cho 3 

a^2 va b^2 la so chinh phuong nen chia 3 du 0 hoac 1 ma a,b ko chia het cho 3

suy ra a^2, b^2 chia 3 du 1

suy ra a^2+b^2 chia 3 du 2

Lai co a=3k+1, b=3q+2 suy ra ab chia 3 du 2

Tu do suy ra a^2-ab+b^2 chia het cho 3  (2)

tu 1 va 2 so chia het cho 9

TH2 tuong tu