Question

[Pham Trong Bach]

Cho dãy số $\left(x_n\right):\left\{\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_n=\frac{2n}{{(n-1)}^2} \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{x}_i, n=2, 3.....\end{array}\right.$Xét dãy số y_n = x_n+1 - x_n. Khẳng định nào đúng về dãy (y_n) 

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn A.

Ta có: 

Do đó: 

- Ta chứng minh dãy (y_n)  tăng.

Ta có: 

- Ta chứng minh dãy (y_n)  bị chặn.

Trước hết ta chứng minh: x_n ≤ 4(n – 1) (1)

 * Với n = 2, ta có: x₂ = 4x₁ = 4 nên (1) đúng với n = 2

 * Giả sử (1) đúng với n, tức là: x_n ≤ 4(n – 1), ta có

Nên (1) đúng với n + 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng

Ta có: 

Vậy bài toán được chứng minh.