Cho a,b,c > 0
Chung minh:\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a>1,b>1,c>1. Chứng minh : \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}+\frac{b}{\sqrt{b-1}}+\frac{c}{\sqrt{c-1}}\ge6\)
\(VT=\frac{a}{\sqrt{a-1}}+\frac{b}{\sqrt{b-1}}+\frac{c}{\sqrt{c-1}}=\frac{a-1+1}{\sqrt{a-1}}+\frac{b-1+1}{\sqrt{b-1}}+\frac{c-1+1}{\sqrt{c-1}}\)
\(VT\ge\frac{2\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}}+\frac{2\sqrt{b-1}}{\sqrt{b-1}}+\frac{2\sqrt{c-1}}{\sqrt{c-1}}=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
áp dụng Cô-si ta có:
\(a^5+\frac{1}{a}+1+1\ge4\sqrt[4]{a^5.\frac{1}{a}.1.1}=4a\)
\(b^5+\frac{1}{b}+1+1\ge4\sqrt[4]{b^5.\frac{1}{b}.1.1}=4b\)
\(c^5+\frac{1}{c}+1+1\ge4\sqrt[4]{c^5.\frac{1}{c}.1.1}=4c\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+1+1+1+1+1+1\ge4a+4b+4c\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5+c^5\ge4\left(a+b+c\right)-6=4.3-6=6\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Vẫn áp dụng cô si nhưng lần này sẽ khác cách của Thành:
Áp dụng BĐT Côsi,ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Suy ra \(VT\ge a^5+b^5+c^5+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Suy ra \(VT+1+1\ge a^5+b^5+c^5+1+1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)
Áp dụng Côsi,ta có: \(a^5+b^5+c^5+1+1\ge5\sqrt[5]{1a^5b^5c^51}=5abc\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(VT+1+1\ge5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(VT\ge5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\).Ta cần chứng minh \(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\ge6\Leftrightarrow5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\ge8\) (3)
Thật vậy ta có: \(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{a+b+c}{3}\).Áp dụng vào,ta có:
\(abc\ge\frac{a+b+c}{3}=1\) (do a + b + c = 3).
Thay vào (3),ta có:\(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\ge8\) suy ra \(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\ge6\) suy ra đpcm
\(N=\Sigma\frac{3}{b+c}+\Sigma\frac{a^2}{b+c}\ge\Sigma\frac{3}{3-a}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\left(Svac\right)\)
\(=\Sigma\frac{3}{3-a}+\frac{3}{2}\)
Để C/m \(N\ge6\)thì \(\Sigma\frac{3}{3-a}\ge\frac{9}{2}\)
Áp dụng Svac \(\frac{3}{3-a}+\frac{3}{3-b}+\frac{3}{3-c}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)^2}{3+3+3-\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\left(Q.E.D\right)\)
Dấu bằng tại a=b=c=1
\(N=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(N\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+3.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{6}+\frac{27}{6}=6\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)
CHTT nha bạn !