Tìm Min P:
a\(^2\)+ ab + b\(^2\)- 3a - 3b + 1989
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 5 2016
nhóm lại thành 2 nhóm có dạng
(xa + yb)^2 + (zb + t)^2
với x,y,z,t là các số thực
LG
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2023
Lời giải:
$A=a^2+ab+b^2-3b-3a+3$
$4A=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+12$
$=(4a^2+4ab+b^2)-12a-12b+3b^2+12$
$=(2a+b)^2-6(2a+b)+9+(3b^2-6b+3)$
$=(2a+b-3)^2+3(b-1)^2\geq 0+3.0=0$
Vậy $A_{\min}=0$. Giá trị này đạt tại $2a+b-3=b-1=0$
$\Leftrightarrow b=1; a=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2023
Câu B tương tự câu A nhé. Chỉ khác mỗi đặt tên biến.
---------------
$C=x^2+5y^2-4xy+2y-3$
$=(x^2-4xy+4y^2)+(y^2+2y)-3$
$=(x-2y)^2+(y^2+2y+1)-4$
$=(x-2y)^2+(y+1)^2-4\geq 0+0-4=-4$
Vậy $C_{\min}=-4$. Giá trị này đạt tại $x-2y=y+1=0$
$\Leftrightarrow y=-1; x=-2$
1 tháng 7 2019
Lời giải :
\(A=a^2+ab+b^2-3a-3b+2014\)
\(A=\frac{1}{2}\left(2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4028\right)\)
\(A=\frac{1}{2}\left[\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2-6a+9\right)+\left(b^2-6b+9\right)+4010\right]\)
\(A=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-3\right)^2+\left(b-3\right)^2+4010\right]\)
Dấu "=" không xảy ra nha bạn, bạn xem lại đề
CD
1
ND
13 tháng 7 2018
a. \(P=a^2+ab+b^2-3a-3b+1989\)
\(4P=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+7956\)
\(4P=\left(4a^2+4ab+b^2\right)-\left(12a+6b\right)+9+\left(3b^2-6b+3\right)+7944\)
\(4P=\left(2a+b\right)^2-2.3\left(2a+b\right)+3^2+3\left(b^2-2b+1\right)+7944\)
\(4P=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2+7944\ge7944\)
\(\Rightarrow P\ge1986\)
\(\Rightarrow Min_P=1986\Leftrightarrow a=b=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 1
\(ab+bc+ca=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y;z>0\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{x}{\left(3-x\right)^2}+\dfrac{y}{\left(3-y\right)^2}+\dfrac{z}{\left(3-z\right)^2}\)
Ta có đánh giá sau: \(\dfrac{t}{\left(3-t\right)^2}\ge\dfrac{2t-1}{4};\forall t\in\left(0;3\right)\)
Thực vậy, BĐT đã cho tương đương:
\(4t\ge\left(2t-1\right)\left(3-t\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-2t^3+13t^2-20t+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(9-2t\right)\left(t-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(t< 3\))
Áp dụng ta được:
\(P\ge\dfrac{2x-1}{4}+\dfrac{2y-1}{4}+\dfrac{2z-1}{4}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 1
Cách khác:
Sau khi đặt ẩn phụ, ta có:
\(P=\dfrac{x}{\left(3-x\right)^2}+\dfrac{y}{\left(3-y\right)^2}+\dfrac{z}{\left(3-z\right)^2}=\dfrac{x}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{y}{\left(z+x\right)^2}+\dfrac{z}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow3P=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{x}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{y}{\left(z+x\right)^2}+\dfrac{z}{\left(x+y\right)^2}\right)\ge\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)^2\ge\dfrac{9}{4}\)
(BĐT Netsbitt)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{4}\)
LT
2
KN
26 tháng 4 2020
Thật sự á, cái đề làm t đau đầu từ sáng giờ, nhờ cmt của bạn Arima Kousei t mới làm đc!
Đề đúng là tìm min của \(M=\frac{3a^4+3b^4+c^3+2}{\left(a+b+c\right)^3}\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số không âm, ta được:
\(3a^4+1=a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{a^{12}}=4a^3\)
Tương tự ta có: \(3b^4+1\ge4b^3\)
\(\Rightarrow M=\frac{3a^4+3b^4+c^3+2}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{4a^3+4b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\)
Ta có BĐT phụ \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)(*)
Thật vậy (*)\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{4a^3+4b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b\right)^3+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{4\left(a+b+c\right)^3}=\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 2
P/S: Sai nữa thì chịu ,mình đã cố gắng hết sức
Ta có P = a2 + ab + b2 - 3a - 3b + 1989
= \(\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)-3a+\frac{3}{2}b+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}b^2-\frac{9}{2}b+\frac{27}{4}+1980\)
= \(\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)-3\left(a-\frac{1}{2}b\right)+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}b^2-3.\frac{3}{2}.2\frac{1}{2}b+\frac{27}{4}+1980\)
= \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-3\left(a-\frac{1}{2}b\right)+\frac{9}{4}+3\left(\frac{1}{4}b^2-2.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}b+\frac{9}{4}\right)+1980\)
= \(\left(a+\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}\right)^2+1980\ge1980\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a+\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}=0\\\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+\frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\\b=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=3\end{cases}}\)
Vậy Min P = 1980 <=> a = 0 ; b = 3