Cho x,y là 2 số thực sao cho x+y=2. Chứng minh xy(x2+y2)\(\le2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2021
Lời giải:
$(x-y)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow 2\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}\geq x+y\geq -\sqrt{2}$
Ta có đpcm.
CM
7 tháng 10 2018
x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 ⇔ ( 1 + x ) 2 ( 1 + y ) 2 = 1 − x y ⇒ ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 - x y 2 ⇔ 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 − 2 x y + x 2 y 2 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x y = 0 ⇔ x + y 2 = 0 ⇔ y = − x ⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = x 1 + x 2 − x 1 + x 2 = 0
KT
25 tháng 4 2018
bài này ko dùng cô-si nhé, đề chỉ cho x,y là số thực và thỏa mãn \(xy\ge1\) chứ ko nói j đến dương, tham khảo bài lm của mk nhé:
BÀI LÀM
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)}+\frac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(y-x\right)\left(x+xy^2-y-x^2y\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(y-x\right)\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
đến đây bn tự giải thích và làm tiếp nhé
CÁCH 2: \(VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+y^2+x^2+x^2y^2}\)
Ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
Áp dụng BĐT trên ta có: \(x^2+y^2\ge2xy\) mà \(xy\ge1\) nên \(x^2+y^2\ge2\)
\(xy\ge1\) \(\Rightarrow\)\(\left(xy\right)^2=x^2y^2\ge1\)
Khi đó: \(VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2+x^2y^2}\ge\frac{2xy+1}{2xy+1+1}\ge\frac{2+2}{2xy+2}=\frac{4}{2\left(xy+1\right)}=\frac{2}{1+xy}\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{2}{1+xy}\)hay \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) (đpcm)
CM
21 tháng 8 2018
Đáp án D
Cho x,y > 0 thỏa mãn 2 ( x 2 + y 2 ) + x y = ( x + y ) ( 2 + x y ) ⇔ 2 ( x + y ) 2 - ( 2 + x y ) ( x + y ) - 3 x y = 0 (*)
Đặt x + y = u x y = v ta đc PT bậc II: 2 u 2 - ( v + 2 ) u - 3 = 0 gải ra ta được u = v + 2 + v 2 + 28 v + 4 4
Ta có P = 4 ( x 3 y 3 + y 3 x 3 ) - 9 ( x 2 y 2 + y 2 x 2 ) = 4 ( x y + y x ) 3 - 9 ( x y + y x ) 2 - 12 ( x y + y x ) + 18 , đặt t = ( x y + y x ) , ( t ≥ 2 ) ⇒ P = 4 t 3 - 9 t 2 - 12 t + 18 ; P ' = 6 ( 2 t 2 - 3 t + 2 ) ≥ 0 với ∀ t ≥ 2 ⇒ M i n P = P ( t 0 ) trong đó t 0 = m i n t = m i n ( x y + y x ) với x,y thỏa mãn điều kiện (*).
Ta có :
t = ( x y + y x ) = ( x + y ) 2 x y - 2 = u 2 v - 2 = ( v + 2 + v 2 + 28 v + 4 ) 2 16 v - 2 = 1 16 ( v + 2 v + v + 4 v + 28 ) 2 - 2 ≥ 1 16 ( 2 2 + 32 ) 2 - 2 = 5 2
Vậy m i n P = P ( 5 2 ) = 4 . ( 5 2 ) 2 - 9 ( 5 2 ) 2 - 12 . 5 2 + 18 = - 23 4
TV
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 12 2022
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=1+x^2+y^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2y^2+2xy+1\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(1+xy\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x+y+1+xy\right)^2\) là SCP
24 tháng 12 2022
(1+x2)(1+y2)+4xy+2(x+y)(1+xy)
= 1+y2+x2+x2y2+2xy+2xy+2(x+y)(1+xy)
=(x2+2xy+y2)+(x2y2+2xy+1)+2(x+y)(1+xy)
=(x+y)2+(xy+1)2+2(x+y)(1+xy)
=(x+y+xy+1)2
4 tháng 10 2023
Do 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸3\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[3\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải tồn tại 1 số chia hết cho 3.
Tương tự, một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸4\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[4\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải có 1 số chia hết cho 4.
Từ 2 điều trên, kết hợp với \(\left(4,3\right)=1\), thu được \(xy⋮3.4=12\). Ta có đpcm.
TQ
1
7 tháng 4 2022
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
\(xy\left(x^2+y^2\right)=xy\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4xy-2x^2y^2=4t-2t^2,\left(t=xy\right)\)
\(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=1\Rightarrow t\le1\).
Ta xét bảng biến thiên của hàm \(f\left(t\right)=4t-2t^2\)với \(t\in(-\infty,1]\)được \(f\left(t\right)\le2\)
Dấu \(=\)đạt tại \(t=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)..
Suy ra đpcm.
Bạn còn cách nào không dùng bảng biến thiên của hàm không á. Mik mới lớp 9 nên không hiểu á.