CMR: \(5-\sqrt{2}\)là số hữu tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BT
25 tháng 7 2016
\(\sqrt{1-xy}=\frac{\sqrt{1-xy}.x^2y^2}{x^2y^2}\)\(=\frac{\sqrt{x^4y^4-x^5y^5}}{x^2y^2}\)
có: \(x^5+y^5=2x^2y^2\Rightarrow x^2y^2=\frac{x^5+y^5}{2}\)
\(\frac{\sqrt{x^4y^4-x^5y^5}}{x^2y^2}=\frac{\sqrt{\left(\frac{x^5+y^5}{2}\right)^2-x^5y^5}}{x^2y^2}=\frac{\sqrt{\left(x^5-y^5\right)^2}}{2x^2y^2}=\frac{\left|x^5-y^5\right|}{2x^2y^2}\)
Do x, y hữu tỉ nên \(\frac{\left|x^5-y^5\right|}{2x^2y^2}\)hữu tỉ (đpcm)
9 tháng 11 2021
\(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow ab=bc+ac\Leftrightarrow2ab-2bc-2ac=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac}\\ =\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}=\left|a+b-c\right|\left(dpcm\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 6 2019
Lời giải:
Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}=a$ là một số hữu tỉ.
\(\Rightarrow (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow 5+2\sqrt{6}=a^2\Rightarrow \sqrt{6}=\frac{a^2-5}{2}\) là số hữu tỉ.
Đặt \(\sqrt{6}=\frac{a^2-5}{2}=\frac{m}{n}(m,n\in\mathbb{Z}^+; (m,n)=1)\)
\(\Rightarrow 6=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=6n^2\vdots 3\)
\(\Rightarrow m\vdots 3\Rightarrow 6n^2=m^2\vdots 9\Rightarrow n^2\vdots 3\Rightarrow n\vdots 3\). Vậy $m,n$ cùng có ước chung là $3$ (vô lý vì $(m,n)=1$). Do đó điều giả sử là sai. Nghĩa là $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ không phải số hữu tỉ.
---------------------------------
Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=b$ là số hữu tỉ
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}=b-\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow 5+2\sqrt{6}=b^2+5-2b\sqrt{5}\) (bình phương 2 vế)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{6}=b^2-2b\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow 24=b^4+20b^2-4b^3\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{5}=\frac{b^4+20b^2-24}{4b^3}\) là số hữu tỉ.
Đặt \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}(m,n\in\mathbb{Z}^+, (m,n)=1)\)
\(\Rightarrow 5=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=5n^2\)
\(\Rightarrow m^2\vdots 5\Rightarrow m\vdots 5\Rightarrow 5n^2=m^2\vdots 25\Rightarrow n^2\vdots 5\Rightarrow n\vdots 5\)
Như vậy $m,n$ có ước chung là $5$ (vô lý vì $(m,n)=1$). Do đó điều giả sử là sai. Tức là $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ không là số hữu tỉ.
13 tháng 9 2017
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow ab+1=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{ab+1}=a+b\in Q\left(Q.E.D\right)\)
11 tháng 8 2018
Ta có: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2.\frac{c+b-a}{abc}\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\) (vì: a=b+c)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\)
Do a,b,c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\) là 1 số hữu tỉ
=.= hok tốt!!
Bạn kiểm tra lại đề bài nhé!