Question

[༺Tiểu Bạch Dương༻]

Tìm GTLN:

 A = \(\frac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}\)

Answer 1

[Nobi Nobita]

Điều kiện để A xác định: \(x\ge0\)

\(A=\frac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}=\frac{2\sqrt{x}+4+3}{\sqrt{x}+2}=\frac{2\left(\sqrt{x}+2\right)+3}{\sqrt{x}+2}=2+\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)

Vì \(\sqrt{x}+2\)luôn xác định \(\Rightarrow\sqrt{x}+2\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{x}+2}\le\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow2+\frac{3}{\sqrt{x}+2}\le2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy \(maxA=\frac{7}{2}\Leftrightarrow x=0\)

Answer 2

[KCLH Kedokatoji]

\(A=\frac{2\sqrt{x}+4+3}{\sqrt{x}+2}=2+\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)

Để A đạt GTLN \(\Leftrightarrow\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)đạt GTLN

\(\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)có mẫu dương, tử dương và tử không đổi nên \(\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)đạt GTLN \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\)đạt GTNN

Có: \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+2\ge2\).Dấu bằng đẳng thức xảy ra khi \(x=0\).

Khi đó: \(\frac{3}{\sqrt{x}+2}=\frac{3}{2}\)và \(A=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}\)

               KL: \(A_{max}=\frac{7}{2}\Leftrightarrow x=0\)