Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = \(4x^2+6y^2+3z^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 7 2017
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
12 tháng 7 2017
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
MT
4
30 tháng 7 2016
huhuhu em mới học lớp 6 thui mà sao lại nhờ em
xin lỗi nhak em ko giúp được đâu tì đứa khác giải giúp đi nhé
NN
27 tháng 2 2020
\(B=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT cô si:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)
CMTT: \(\frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}\ge x+y+z\)
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge4-\frac{2.\left(x+y+z\right)}{4}=4-2=2\)
\(B\ge2\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}\)
DN
2
HH
11 tháng 12 2017
Ta có: \(\frac{4x}{-5}=\frac{6y}{7}=\frac{-3z}{8}\)(1) và x + 3y - 2z = -273
(1) => \(\frac{x}{\frac{-5}{4}}=\frac{3y}{\frac{7}{2}}=\frac{-z}{\frac{8}{3}}\)=> \(\frac{x}{\frac{-5}{4}}=\frac{3y}{\frac{7}{2}}=\frac{-2z}{\frac{16}{3}}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{\frac{-5}{4}}=\frac{3y}{\frac{7}{2}}=\frac{-2z}{\frac{16}{3}}=\frac{x+3y-2z}{\frac{-5}{4}+\frac{7}{2}-\frac{16}{3}}=\frac{-273}{\frac{-37}{12}}=\frac{3276}{37}\)
=> \(\frac{x}{\frac{-5}{4}}=\frac{3276}{37}\)=> \(37x=3276\left(\frac{-5}{4}\right)\)=> x = \(\frac{-4095}{37}\)
và \(\frac{3y}{\frac{7}{2}}=\frac{3276}{37}\)=> \(111y=3276.\frac{7}{2}\)=> y = \(\frac{3822}{37}\)
và \(\frac{-2z}{\frac{16}{3}}=\frac{3276}{37}\)=> \(-74z=3276.\frac{16}{3}\)=> z = \(\frac{-8736}{37}\)
=> A = x + y + z + 1 = \(\frac{-4095}{37}\)+ \(\frac{3822}{37}\)+ \(\frac{-8736}{37}\)+ 1 = \(\frac{-8972}{37}\).
15 tháng 2 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}\ge z\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được:
\(P+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy Min P=1 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{6}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{3}\right)^2}\right)\left(\left(2x\right)^2+\left(y\sqrt{6}\right)^2+\left(z\sqrt{3}\right)^2\right)\ge\)
\(\left(\frac{1}{2}.2x+\frac{1}{\sqrt{6}}.y\sqrt{6}+\frac{1}{\sqrt{3}}.z\sqrt{3}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)\left(4x^2+6y^2+3z^2\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}A\ge9\Leftrightarrow A\ge12\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x=6y=3z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=1,y=\frac{2}{3},z=\frac{4}{3}}\)
Áp dụng bđt svacxo: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)(Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}\))
CM bđt đúng: Áp dụng bđt buniacopski
\(\left[\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}\right)^2+\left(\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}\right)+\left(\frac{x_3}{\sqrt{y_3}}\right)\right]\left[\left(\sqrt{y_1}\right)^2+\left(\sqrt{y_2}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\)
\(\ge\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}+\sqrt{y_1}+\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}+\frac{x_3}{\sqrt{y_3}}+\sqrt{y_2}+\frac{x_3}{y_3}\right)^2\)
<=> \(\left(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3}{y_3}\right)\left(y_1+y_2+y_3\right)\) \(\ge\left(x_1+x_2+x_3\right)^2\)
Áp dụng bđt vaofA, ta có:
A = \(4x^2+6y^2+3z^2=\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{6}}+\frac{z_2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{3}{4}}=12\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{6}}=\frac{z}{\frac{1}{3}}\\x+y+z=3\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Vậy MinA = 12 <=> x = 1; y = 2/3; z = 4/3