Cho a,b,c khác 0 t/m \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) và \(\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^2}=1\)
Tính \(P=\left(a-2b+4c\right)^{2019}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 11 2019
Từ câu a ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=0\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow2+\frac{1}{c}=0\Rightarrow c=-\frac{1}{2}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Thay vào Q là xong
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2017
Bài 3)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( 3-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}-\frac{c}{c+a} \right )\)
Để cho gọn, đặt \((x,y,z)=\left (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\).
BĐT được viết lại như sau:
\(A=2\left [ \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\) \((\star)\)
Ta nhớ đến hai bổ đề khá quen thuộc sau:
Bổ đề 1: Với \(a,b>0\) thì \(\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}\)
Cách CM rất đơn giản, Cauchy - Schwarz:
\((a+1)^2\leq (a+b)(a+\frac{1}{b})\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(a+b)(ab+1)}\)
Tương tự với biểu thức còn lại và cộng vào thu được đpcm
Bổ đề 2: Với \(x,y>0,xy\geq 1\) thì \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
Cách CM: Quy đồng ta có đpcm.
Do tính hoán vị nên không mất tổng quát giả sử \(z=\min (x,y,z)\)
\(\Rightarrow xy\geq 1\). Áp dụng hai bổ đề trên:
\(A\geq 2\left [ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}=2\left [ \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{z+1}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{2(z^2+z+1)}{(z+1)^2}+\frac{1}{z+1}+2-\frac{2}{\sqrt{z}+1}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2\left [ \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4} \right ]+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{z}+1}-1 \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(z-1)^2}{2(z+1)^2}-\frac{z-1}{2(z+1)}+\frac{z-1}{(\sqrt{z}+1)^2}\geq 0\Leftrightarrow (z-1)\left [ \frac{1}{(\sqrt{z}+1)^2}-\frac{1}{(z+1)^2} \right ]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z}-1)^2(\sqrt{z}+1)(z+\sqrt{z}+2)}{(\sqrt{z}+1)^2(z+1)^2}\geq 0\) ( luôn đúng với mọi \(z>0\) )
Do đó \((\star)\) được cm. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Nghỉ tuyển lâu rồi giờ mới gặp mấy bài BĐT phải động não. Khuya rồi nên xin phép làm bài 3 trước. Hai bài kia xin khiếu. Nếu làm đc chắc tối mai sẽ post.
2 tháng 3 2017
Bài 1:
Cho \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Khi đó \(M=\sqrt{3}-2\)
Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất
Thật vậy, đặt c là giá trị nhỏ nhất của a,b,c. Khi đó, ta cần chứng minh
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{ab+ac+bc}}\geq(\sqrt3-2)\sqrt{ab+ac+bc}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab+ac+bc}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\right)\geq2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{b^2}{a}-c+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq\)
\(\geq2((a-b)^2+(c-a)(c-b))\)
\(\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2\right)+(c-a)(c-b)\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\right)+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq0\)
Đúng bởi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2>0;\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-2>0\) và
\(a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}=\frac{(a-b)^2+(c-a)(c-b)}{a+b+c+\sqrt{3(ab+ac+bc)}}\geq0\)
BĐT đã được c/m. Vậy \(M_{Min}=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
P/s: Nhìn qua thấy ngon mà làm mới thấy thật sự là "choáng"
S
30 tháng 10 2018
\(a+b=c+\frac{1}{2019}\Leftrightarrow a+b-c=\frac{1}{2019}\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}=2019\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+2019\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=2019\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b-c}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{a+b}{c\left(a+b-c\right)}\Leftrightarrow c\left(a+b-c\right)\left(a+b\right)=\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b-c\right)\left(a+b\right)-ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ca+bc-c^2-ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)=0\)
=>a=-b hoặc c=b hoặc a=c
không mất tính tổng quát, giả sử a=-b, ta có:
\(P=\left(-b^{2019}+b^{2019}-c^{2019}\right)\left(-\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}-\frac{1}{c^{2019}}\right)=\left(-c\right)^{2019}\cdot\left(\frac{-1}{c}\right)^{2019}=1\)
tương tư với các trường hợp khác ta cũng có P=1
Vậy P=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2020
\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\right)=20\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=2019\)
\(\Leftrightarrow7\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=20\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2019\)
\(\Rightarrow7\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\frac{20}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+2019\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le6057\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\sqrt{673}\)
Ta có:
\(\sqrt{\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a+b\right)^2}=2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}\le\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) ; \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\sqrt{673}\)
\(P_{max}=\sqrt{673}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{673}}\)
26 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT Cô - si ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{x+y}{2}}=\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT trên ta được :
\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2a+b+c}\right)^2\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2\)
Chứng minh tương tự rồi cộng các vế lại cho nhau ta được :
\(A\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2\)
\(\Rightarrow16A\le\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2\)
\(=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a+b};\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
Khi đó \(16A\le2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)
Ta có BĐT phụ sau :
\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\) ( tự chứng minh ) (2)
Áp dụng ta được :
\(16A\le4x^2+4y^2+4z^2=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)
\(\Rightarrow4A\le\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\)
Từ (1) \(\Rightarrow\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}++\frac{1}{y}\right)^2\)( bình phương 2 vế lên )
Áp dụng BĐT này ta được :
\(4A\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\Rightarrow64A\le\frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{bc}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ac}+\frac{1}{a^2}\)
\(\Rightarrow32A\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
Áp dụng BĐT (2) ta được :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Rightarrow32A\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3+3=6\)
\(\Rightarrow A\le\frac{6}{32}=\frac{3}{16}\)
Dấu " = " xảy ra khi a=b=c=1
Dài quá đi
Chúc bạn học tốt !!
bài này lớp 8 học rồi nhé , bạn đặt đúng lớp ạ
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1< =>\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=1\)
\(< =>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=1\)
\(< =>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}-\frac{2}{bc}+\frac{1}{a^2}+1=1\)
\(< =>\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\right)+\left(\frac{2}{bc}-\frac{2}{bc}\right)+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ca}=1-1=0\)
\(< =>\frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ca}=0< =>\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2=0\)
\(< =>\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=0\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}\frac{1}{c}=-\frac{1}{a}\\\frac{1}{b}=-\frac{1}{a}\end{cases}}< =>b=c=-a}\)(*)
Thế (*) và giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{-a}+\frac{1}{-a}=1\)
\(< =>\frac{1-1-1}{a}=1< =>-\frac{1}{a}=1< =>a=-1\)
Khi đó ta được \(b=c=-\left(-1\right)=1< =>\hept{\begin{cases}a=-1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)
Nên \(P=\left(a-2b+4c\right)^{2019}=\left(-1-2+4\right)^{2019}=1^{2019}=1\)