By NCTKCho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $xyz\ge7$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K=\sqrt{\frac{529}{25}x^2-\frac{602}{15}xy \frac{238}{9}y^2} \sqrt{\frac{529}{25}y^2-\frac{602}{15}yz...

KN

Kiệt Nguyễn

30 tháng 8 2020 - olm

By NCTKCho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $xyz\ge7$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K=\sqrt{\frac{529}{25}x^2-\frac{602}{15}xy+\frac{238}{9}y^2}+\sqrt{\frac{529}{25}y^2-\frac{602}{15}yz+\frac{238}{9}z^2}+\sqrt{\frac{529}{25}z^2-\frac{602}{15}zx+\frac{238}{9}x^2}$P/S: Bài hệ số bất định này khá dễ và cũ nên mik cố tỉnh để số lớn và giả thiết xấu nha, lần sau sẽ chế đề khó và đẹp...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

A

asssssssaasawdd

29 tháng 8 2020

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\frac{12}{xy}+\frac{20}{yz}+\frac{15}{zx}\le1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{3}{\sqrt{x^2+9}}+\frac{4}{\sqrt{y^2+16}}+\frac{5}{\sqrt{z^2+25}}$

#Toán lớp 9

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

30 tháng 8 2020

Nếu đề làm tìm max P thì giải như sau:

Đặt $(\frac{3}{x}, \frac{4}{y}, \frac{5}{z})=(a,b,c)$ thì bài toán trở thành:

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ac\leq 1$.

Tìm GTLN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}$

---------------------------

Vì $ab+bc+ac\leq 1$ nên:

$P\leq \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}$

$=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{1}{2}(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a})+\frac{1}{2}(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})$

(theo AM-GM)

Hay $P\leq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}$

Vậy $P_{\max}=\frac{3}{2}$.

Giá trị này đạt được khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{3}{x}=\frac{4}{y}=\frac{5}{z}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(0)

A

asssssssaasawdd

30 tháng 8 2020

Bạn thử làm với đề là max đi

Đúng(0)

BT

bui thai hoc

28 tháng 9 2019 - olm

cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn xyz=1 . tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=$\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}$

#Toán lớp 9

3

T

tth_new

29 tháng 9 2019

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt $\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0$

Khi đó $M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$ với abc = $\sqrt{xyz}=1$ và a,b,c > 0

Dễ thấy $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó $2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}$

Đến đây thì chứng minh $\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0$(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: $2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1$

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

Đúng(0)

BT

bui thai hoc

30 tháng 9 2019

dit me may

Đúng(0)

HV

Họ Và Tên

22 tháng 5 2021 - olm

Cho các số thực dương x, y, z thõa mãn $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\right)$

#Toán lớp 9

1

PT

Phạm Thành Đông

23 tháng 5 2021

Ta có $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\left(x,y,z>0\right)$.

$\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1$.

$P=\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+y^2}\right)$$\left(x,y,z>0\right)$.

Ta có:

$\sqrt{2y^2+2yz+2z^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y^2+2yz+z^2\right)+\frac{3}{4}\left(y^2-2yz+z^2\right)}$

$=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2}$.

Ta có:

$\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z>0$.

$\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\forall y;z>0$.

$\Rightarrow\sqrt{\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y,z>0$.

$\Leftrightarrow\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y;z>0$.

$\Leftrightarrow x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}x\left(y+z\right)\forall x;y;z>0\left(1\right)$.

Chứng minh tương tự, ta được:

$y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}y\left(x+z\right)\forall x;y;z>0\left(2\right)$.

Chứng minh tương tự, ta được:

$z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}z\left(x+y\right)\forall x;y;z>0\left(3\right)$.

Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$, ta được:

$x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}$$\ge$$\frac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]=\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)$.

$\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+z^2}+y\sqrt{2z^2+zx+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\right)$$\ge$$\frac{\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=\sqrt{5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$.

$\Leftrightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}.3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]$

$\left(4\right)$.

Vì $x,y,z>0$nên áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được:
$\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge$$\left(1.\frac{1}{\sqrt{x}}+1.\frac{1}{\sqrt{y}}+1.\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2$.

$\Leftrightarrow\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=1^2=1$

(vì$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1$).

$\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\frac{\sqrt{5}}{3}$$\left(5\right)$.

Từ $\left(4\right)$và $\left(5\right)$, ta được:

$P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Dấu bằng xảy ra.

$\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=9$.

Vậy $minP=\frac{\sqrt{5}}{3}\Leftrightarrow x=y=z=9$.

Đúng(0)

MT

Mai Tiến Đỗ

2 tháng 1 2021

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{6\left(z^2+5\right)}}$

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

2 tháng 1 2021

Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24

Đúng(1)

MT

Mai Tiến Đỗ

2 tháng 1 2021

mình cảm ơn bạn nhiều ạ <3 bạn có thể giúp mình mấy câu mình vừa đăng không

Đúng(0)

HT

Hoàng Thị Yến Vy

7 tháng 5 2019 - olm

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= $\frac{\sqrt{1+x^2+y^3}}{xy}$ +$\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}$+$\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}$

#Toán lớp 11

1

CC

Con Chim 7 Màu

7 tháng 5 2019

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}=3xy\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{3xy}\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}$

Tương tự:$\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3yz}}{yz};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3zx}}{zx}$

Công vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:

$P\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}+\frac{\sqrt{3yz}}{yz}+\frac{\sqrt{3zx}}{zx}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)$ $=\sqrt{3}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge3\sqrt{3}$

Dấu '='xảy ra khi $\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}$

Vậy $P_{min}=3\sqrt{3}$khi $x=y=z=1$

:))

Đúng(0)

NV

Nhật Vy Nguyễn

20 tháng 2 2018 - olm

Cho x,y,z là 3 số thực dương thảo mãn điều kiện xy+yz+zx=xyz

Tìm giá trị lướn nhất của biểu thức:

P=$\sqrt{\frac{1}{xy}:\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}\right)}+\sqrt{\frac{1}{yz}:\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{yz}\right)}+\sqrt{\frac{1}{xz}:\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{xz}\right)}$

#Toán lớp 9

2

NV

Nhật Vy Nguyễn

20 tháng 2 2018

đáp án

Không có văn bản thay thế tự động nào.

Đúng(0)

PN

Phan Nghĩa

8 tháng 1 2021

chia cả 2 vế của giả thiết cho xyz rồi đặt 1/x ; 1/y ; 1/z => a ; b ; c

đến đây thì tự làm tiếp đi

Đúng(0)

LS

Lê Song Phương

16 tháng 2 2022 - olm

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$

#Toán lớp 9

3

XO

Xyz OLM

17 tháng 2 2022

Ta có : 2P = $\frac{\sqrt{4x^2-4xy+4y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{4y^2-4yz+4z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{4z^2-4zx+4x^2}}{z+x+2y}$

$=\frac{\sqrt{\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{\left(2y-z\right)^2+\left(\sqrt{3}z\right)^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{\left(2z-x\right)^2+\left(\sqrt{3}x\right)^2}}{z+x+2y}$

Lại có $\frac{\sqrt{\left[\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2\right]\left[\left(1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\right)\right]}}{x+y+2z}\ge\frac{\left[\left(2x-y\right).1+3y\right]}{x+y+2z}=\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}$

=> $\sqrt{\frac{\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2}{x+y+2z}}\ge\frac{x+y}{x+y+2z}$(BĐT Bunyakovsky)

Tương tự ta đươc $2P\ge\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{z+x}{2y+z+x}$

Đặt x + y = a ; y + z = b ; x + z = c

Khi đó $2P\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3$

$\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

=> $P\ge\frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

Đúng(0)

NT

Nguyễn Tuấn Dương

16 tháng 2 2022

bài 8 : bỏ dấu hoặc rồi tính

a;( 17 - 299) + ( 17 - 25 + 299)

Đúng(0)

NA

Nguyễn Anh Tuấn

10 tháng 7 2016 - olm

1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn $^{x^2+y^2+z^2\le xyz}$Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}$2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$Tìm giá trị lớn nhất của biểu...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

NN

Nga Nguyễn

16 tháng 2 2020 - olm

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + xyz = z. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{2x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}+\frac{x^2\left(1+\sqrt{yz}\right)^2}{\left(y+z\right)\left(x^2+1\right)}$

#Toán lớp 10

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP