\(P=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}\)
a,b dương
\(a^2+b^2=2\)
GTNN,GTLN
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 12 2019
2. Áp dụng bđt \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) :
\(B=\frac{x}{x+x+y+z}+\frac{y}{x+y+y+z}+\frac{z}{x+y+z+z}\) \(=x\cdot\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+y\cdot\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}+z\cdot\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\cdot x\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{4}y\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)+\frac{1}{4}z\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow B\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
KB
23 tháng 3 2019
2 ) Ta có : \(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
Do a ; b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\frac{a+b}{3}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b\le3\)
\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}+2b-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)
( áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Tìm min cho K, tìm max có lẽ Bunhia là ra thôi:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3a+1}=x\\\sqrt{3b+1}=y\\\sqrt{3x+1}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1\le x;y;z\le\sqrt{10}\)
\(x^2+y^2+z^2=3\left(a+b+c\right)+3=12\)
Bài toán trở thành cho \(x^2+y^2+z^2=12\), tìm min \(P=x+y+z\)
Ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{10}\right)\le0\Rightarrow x^2-\left(\sqrt{10}+1\right)x+\sqrt{10}\le0\)
\(\left(y-1\right)\left(y-\sqrt{10}\right)=y^2-\left(\sqrt{10}+1\right)y+\sqrt{10}\le0\)
\(\left(z-1\right)\left(z-\sqrt{10}\right)=z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)z+\sqrt{10}\le0\)
Cộng vế với vế:
\(x^2+y^2+z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)\left(x+y+z\right)+3\sqrt{10}\le0\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=\frac{12+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=2+\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow P_{min}=2+\sqrt{10}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;\sqrt{10}\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị
6 tháng 5 2021
Ta có \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2a}\le\sqrt{2\left(1+a^2+2a\right)}=\sqrt{2}\left(a+1\right)\).
Tương tự \(\sqrt{1+b^2}+\sqrt{2b}\le\sqrt{2}\left(b+1\right)\); \(\sqrt{1+c^2}+\sqrt{2c}\le\sqrt{2}\left(c+1\right)\).
Lại có \(\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\le\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\le3\left(2-\sqrt{2}\right)\).
Do đó \(B\le\sqrt{2}\left(a+b+c+3\right)+3\left(2-\sqrt{2}\right)\le6\sqrt{2}+6-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}+6\).
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.
27 tháng 4 2023
Với \(ab+bc+ca=1\) và a,b,c>0 ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\\\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\\\sqrt{c^2+1}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\end{matrix}\right.\). Do đó:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=a+b\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=b+c\) ; \(\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}=c+a\)
\(\Rightarrow P=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P^2=4\left(a+b+c\right)^2\ge4.3\left(ab+bc+ca\right)=4.3.1=12\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(MinP=2\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(a^2-ab+b^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
MN
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 10 2020
\(P\le\sqrt{3\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\right)}=\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\le\sqrt{3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\sqrt[4]{27}\)
\(P_{max}=\sqrt[4]{27}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}0\le a;b;c\\a^2+b^2+c^2\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)\le0\\b\left(b-1\right)\le0\\c\left(c-1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c\ge a^2+b^2+c^2\)
Ta có:
\(P^2=a+b+c+2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{4}}+2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{4}}+2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{4}}\)
\(P^2=a+b+c+\sqrt{a^2+ab+bc+ca}+\sqrt{b^2+ab+bc+ca}+\sqrt{c^2+ab+bc+ca}\)
\(P^2\ge a+b+c+\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}=2\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{2}\)
\(P_{min}=\sqrt{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 10 2020
Hai lần áp dụng BĐT \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\) bạn
2 tháng 10 2021
Tham khảo:
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\s... - Hoc24