\(\sqrt{\frac{bc}{a\left(3b+a\right)}}+\sqrt{\frac{ac}{b\left(3c+b\right)}}\sqrt{\frac{ab}{c\left(3a+c\right)}}\ge\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 6 2020
Chắc là a;b;c dương
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\) và vế trái là P
\(P=\frac{x}{\sqrt{z\left(3x+y\right)}}+\frac{y}{\sqrt{x\left(3y+z\right)}}+\frac{z}{\sqrt{y\left(3z+x\right)}}=\frac{x^2}{x\sqrt{3xz+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+xz}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{3xz+yz}+y\sqrt{3xy+xz}+z\sqrt{3yz+xy}}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{Q}\)
\(Q=\sqrt{x\left(3x^2z+xyz\right)}+\sqrt{y\left(3xy^2+xyz\right)}+\sqrt{z\left(3yz^2+xyz\right)}\)
\(\Rightarrow Q^2\le3\left(x+y+z\right)\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\Rightarrow x^2+yz\le xy+xz\)
\(\Rightarrow zx^2+yz^2\le xyz+xz^2\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2+xyz\le xy^2+2xyz+xz^2\)
\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2+xyz\le x\left(y+z\right)^2=\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Rightarrow Q^2\le3\left(x+y+z\right).\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3=\frac{4}{9}\left(x+y+z\right)^4\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
KN
2 tháng 8 2020
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)thì \(x,y,z>0\)và ta cần chứng minh \(\frac{x}{\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z}{\sqrt{3yz+xy}}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta có: \(\frac{x^2}{x\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{3zx+yz}+y\sqrt{3xy+zx}+z\sqrt{3yz+xy}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \(x\sqrt{3zx+yz}+y\sqrt{3xy+zx}+z\sqrt{3yz+xy}\)\(=\sqrt{x}.\sqrt{3zx^2+xyz}+\sqrt{y}.\sqrt{3xy^2+xyz}+\sqrt{y}.\sqrt{3yz^2+xyz}\)\(\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]}\)
Ta cần chứng minh \(\sqrt{\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]}\le\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^4\ge\frac{9}{4}\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge\frac{27}{4}\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\)(*)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(y=mid\left\{x,y,z\right\}\)thì khi đó \(\left(y-x\right)\left(y-z\right)\le0\Leftrightarrow y^2+zx\le xy+yz\)
\(\Leftrightarrow xy^2+zx^2\le x^2y+xyz\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2+xyz\le\)\(x^2y+yz^2+2xyz=y\left(z+x\right)^2=4y.\frac{z+x}{2}.\frac{z+x}{2}\)
\(\le\frac{4}{27}\left(y+\frac{z+x}{2}+\frac{z+x}{2}\right)^3=\frac{4\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Như vậy (*) đúng
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2019
Áp dụng BĐT \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\)
\(VT=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\frac{4a+a+3b}{2}+\frac{4b+b+3c}{2}+\frac{4c+c+3a}{2}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
HF
13 tháng 8 2020
\(VP=\frac{6}{\sqrt{\left(3a+bc\right)\left(3b+ca\right)\left(3c+ab\right)}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)a+bc\right]\left[\left(a+b+c\right)b+ca\right]\left[\left(a+b+c\right)c+ab\right]}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+1\right)^2}}=\frac{6}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
\(VT=\frac{1}{3a+bc}+\frac{1}{3b+ca}+\frac{1}{3c+ab}\)
\(=\frac{1}{\left(a+b+c\right)a+bc}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)b+ac}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)c+ab}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=\frac{6}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
Vậy VT = VP, đẳng thức được chứng minh
KB
25 tháng 3 2019
Ta có : \(\frac{a+b+c}{\sqrt{a\left(a+3b\right)}+\sqrt{b\left(b+3c\right)}+\sqrt{c\left(c+3a\right)}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{4a\left(a+3b\right)+\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{\frac{4a+a+3b}{2}+\frac{4b+b+3c}{2}+\frac{4c+c+3a}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
LV
4 tháng 6 2017
dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=c.
theo AM-GM ta có: \(\sqrt{4a\left(a+3b\right)}\le\frac{1}{2}\left(5a+3b\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a\left(a+3b\right)}\le\frac{1}{4}\left(5a+3b\right)\)
thiết lập tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế ta có:
\(VT\ge\frac{a+b+c}{\frac{1}{4}\left(8a+8b+8c\right)}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)(đpcm)
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)