1) Với x, y, z là các số thực thỏa mãn xy yz zx = 13, chứng minh rằng $21x^2 21y^2 z^2\ge78$ 2) Cho các số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn x y z = 3xyz, chứng minh rằng\(\frac{3}{x^2} \frac{1}...

LT

Lê Thanh Hân

10 tháng 6 2020

1) Với x, y, z là các số thực thỏa mãn xy + yz + zx = 13, chứng minh rằng $21x^2+21y^2+z^2\ge78$ 2) Cho các số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 3xyz, chứng minh rằng$\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6$ 3) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của P = a3 + 64b3 +...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

LT

Lê Thanh Quang

10 tháng 6 2020 - olm

1) Với x, y, z là các số thực thỏa mãn xy + yz + zx = 13, chứng minh rằng $21x^2+21y^2+z^2\ge78$2) Cho các số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 3xyz, chứng minh rằng$\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6$3) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của P = a3 + 64b3 +...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

2

NL

Nguyễn Linh Chi

10 tháng 6 2020

1) $21x^2+21y^2+z^2$

$=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)$

$\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy$

$\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy$

$=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78$

Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6

Đúng(0)

NL

Nguyễn Linh Chi

10 tháng 6 2020

2) $x+y+z=3xyz$

<=> $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3$

Đặt: $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$=> ab + bc + ca = 3

Ta cần chứng minh: $3a^2+b^2+3c^2\ge6$

Ta có: $3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2$

$\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6$

Vậy: $\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6$

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = $\sqrt{\frac{3}{5}}$; $b=2\sqrt{\frac{3}{5}}$

khi đó: $x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}$

Đúng(0)

VN

VUX NA

7 tháng 9 2021

Cho các số thực x, y,z thỏa mãn 0 ≤ x,y,z ≤ 1 . Chứng minh rằng

x + y + z - 2( xy + yz + zx ) + 4xyz ≤ 1

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

7 tháng 9 2021

Lời giải:

$2\text{VT}=2(x+y+z)-4(xy+yz+xz)+8xyz$

$=(2x-1)(2y-1)(2z-1)+1$

Do $x,y,z\in [0;1]$ nên $-1\leq 2x-1, 2y-1, 2z-1\leq 1$

$\Rightarrow (2x-1)(2y-1)(2z-1)\leq 1$

$\Rightarrow 2\text{VT}\leq 2$

$\Rightarrow \text{VT}\leq 1$
Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,1), (0,0,1)$ và hoán vị.

Đúng(2)

HQ

Hoàng Quốc Tuấn

3 tháng 4 2020 - olm

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1

Chứng minh rằng

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3$

#Toán lớp 9

2

T

truongkhanhlinhbong

3 tháng 4 2020

helloo

Đúng(0)

TP

Trần Phúc Khang

3 tháng 4 2020

Ta có $1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)$

Khi đó BĐT <=>

$\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)$

<=> $\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3$

<=>$\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3$

<=> $\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3$(1)

Xét $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)$

<=> $9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)$

<=> $xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz$

<=> $x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0$luôn đúng

Khi đó (1) <=>

$\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3$

<=> $\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}$

Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có

$\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}$

$=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}$

=> BĐT được CM

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(1)

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020 - olm

Bài 1: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, chứng minh rằng: $2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge5$Bài 2: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, z = max {x, y, z), chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge4$Bài 3:Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0 và x + y + z = 2,chứng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

Bài 3 thì $\le1$

Bài 4 thì $\ge\frac{3}{4}$ nhé

Đúng(0)

VH

Vương Hoàng Minh

17 tháng 5 2015 - olm

Câu hỏi hay

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = 3xyz. Chứng minh rằng:

$\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}=3xyz$

#Toán lớp 9

0

AN

Anh Nguyen Quoc

5 tháng 2 2020 - olm

Câu hỏi hay

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx>=x+y+z

Chứng minh rằng $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1$

#Toán lớp 9

3

PG

Phan Gia Huy

6 tháng 2 2020

Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ

$RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}$

Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì $xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3$

Ta cần chứng minh:$\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}$

Thật vậy,BĐT tương đương với:

$2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0$ ( luôn đúng với $x+y+z\ge3$ )

=> đpcm

Đúng(1)

NL

Nguyễn Linh Chi

6 tháng 2 2020

Áp dụng: $AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}$với mọi A, B

Ta có:

$x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}$

=> $\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}$

=> $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}$

Tương tự

=> $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}$

$\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}$

$=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)$

$\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}$

$=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}$(1)

Ta có: $x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}$ với mọi x, y, z

=> $\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0$

=> $\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0$

=> $x+y+z\ge3$với mọi x, y, z dương

Và $x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)$

Do đó: $\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}$

$\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}$

Đặt: x + y + z = t ( t$\ge3$)

Xét hiệu: $\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0$với mọi t $\ge3$

Do đó: $\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}$(2)

Từ (1); (2)

=> $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1$

Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1

Đúng(0)

LD

Le Dinh Quan

19 tháng 2 2020 - olm

Cho các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=3 và xy+yz+zx≠0

Chứng minh rằng $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\le\frac{25}{3\sqrt[3]{4xy+yz+zx}}$

#Toán lớp 9

1

T

tth_new

20 tháng 2 2020

Sửa đề VP là $\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}$.

Tham khảo:[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020 - Trang 2 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Đúng(0)

TP

Thu Phương Nguyễn

24 tháng 4 2021 - olm

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh:

$\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}>=\frac{3}{2}$

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của:

A= $\frac{yz}{x^3+2}+\frac{xz}{y^3+2}+\frac{xy}{z^3+2}$

Mình là thành viên mới, rất mong được học hỏi. Xin hãy giúp đỡ mình ạ!!!

#Toán lớp 9

1

ZH

ミ★Zero ❄ ( Hoàng Nhật )

25 tháng 4 2021

$\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z$

$\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}$

Đúng(0)

IL

I love English

4 tháng 6 2019 - olm

1, Cho a,b các số thực khác 0. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}$

2, Cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn: $x+y+z+xy+yz+zx=6xyz$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$

#Toán lớp 9

2

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

4 tháng 6 2019

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0$

$\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0$

$\Rightarrow Q.E.D$

Dấu "=" xảy ra khi a=b

Đúng(0)

DT

Đào Trọng Luân

4 tháng 6 2019

$gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6$

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c$thì $P=a^2+b^2+c^2$và $a+b+c+ab+bc+ca=6$

Giải:

Ta có: $x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x$

Tương tự rồi cộng theo vế ta được: $x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)$(1)

Lại có: $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)$(2)

Cộng (1), (2) theo vế ta được:

$3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12$

$\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3$

Min_P = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP