cho x,y > 0. Cmr: \(x^2\left(y-x\right)\le\frac{4y^3}{27}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 6 2020
\(z\ge x+y\Rightarrow\frac{z}{x+y}\ge1\)
\(VT=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(VT\ge\left(\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+z^2\right)\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(VT\ge\left(\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+z^2\right)\left(\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(VT\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{z}\right)^2+8\left(\frac{z}{x+y}\right)^2+5\)
\(VT\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{z}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+y}\right)^2+\frac{15}{2}\left(\frac{z}{x+y}\right)^2+5\)
\(VT\ge\frac{1}{2}.2\sqrt{\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\left(\frac{z}{x+y}\right)^2}+\frac{15}{2}.1^2+5=\frac{27}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{z}{2}\)
7 tháng 11 2018
Phương trình đề bài cho tương đương:
\(\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
\(\Rightarrow x+y+2=0\) (thừa số thứ 2 luôn > 0)
\(\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(-2\right)^2\ge4xy\Rightarrow xy\le1\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\le-\frac{2}{1}=-2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=-2\end{cases}\Rightarrow x=y=-1}\)
7 tháng 11 2018
Bạn ơi tại sao: \(\left(x+y+z\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
4 tháng 1 2020
https://olm.vn/hoi-dap/detail/238943826197.html . tương tự nha bạn đều ở phần giả sử tráo đổi 1 tí
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2020
Bạn ko hiểu về BĐT
\n\nĐể chứng minh 1 đề bài sai, bạn chỉ cần lấy 1 phản ví dụ là đủ
\n
23 tháng 6 2019
\(\frac{x}{1+x^2}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}}=\frac{\frac{1}{x}}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)}\)
\(=\frac{xyz}{xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)zx\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)}=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\)
Tương tự, ta cũng có: \(\frac{2y}{1+y^2}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)\(;\)\(\frac{3z}{1+z^2}=\frac{3xyz}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(VT=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{3xyz}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) ( đpcm )
29 tháng 5 2019
https://diendantoanhoc.net/topic/167390-cmr-sum-fracx3y38geq-frac19frac227xyyzzx/
bạn tham khảo nhé
21 tháng 6 2020
\(3\left(x+y+z\right)+4\le\frac{27}{4}xyz\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)^3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z-4\right)\left(x+y+z+2\right)^2\ge0\)