Question

[Minh Nguyệt]

Chứng minh: sin (x + α) + sin (x + 2α) + sin(x + 3α) +...+ sin(x + 100α) = 0

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Không biết cách chứng minh câu 1 trước, chứng minh cách câu dưới trước rồi sử dụng c/m câu 1 vậy :D

Câu 2 đơn giản: ghép cặp \(sinx+sin\left(2n-1\right)x=2sin\left(nx\right).cos\left(n-1\right)x\)

\(sin3x+sin\left(2n-3\right)x=2sin\left(nx\right).cos\left(n-3\right)x\)

...

Tương tự với mẫu, đặt nhân tử chung sẽ rút gọn được

3.

\(B=sinx+sin2x+...+sinnx\)

\(2B.sin\frac{x}{2}=2sinx.sin\frac{x}{2}+2sin2x.sin\frac{x}{2}+...+2sinnx.sin\frac{x}{2}\)

\(=cos\frac{x}{2}-cos\frac{3x}{2}+cos\frac{3x}{2}-cos\frac{5x}{2}+...+cos\left(nx-\frac{x}{2}\right)-cos\left(nx+\frac{x}{2}\right)\)

\(=cos\frac{x}{2}-cos\left(nx+\frac{x}{2}\right)=2sin\frac{n\left(x+1\right)}{2}sin\frac{nx}{2}\)

\(\Rightarrow B=\frac{sin\frac{n\left(x+1\right)}{2}.sin\frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}\)

4.

\(C=cosx+cos2x+...+cosnx\)

\(2C.sin\frac{x}{2}=2sin\frac{x}{2}.cosx+2sin\frac{x}{2}.cos2x+...+2sin\frac{x}{2}.cosnx\)

\(=sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}+sin\frac{5x}{2}-sin\frac{3x}{2}+...+sin\left(\frac{x}{2}+nx\right)-sin\left(\frac{x}{2}-nx\right)\)

\(=sin\left(\frac{x}{2}+nx\right)-sin\frac{x}{2}=2cos\frac{\left(n+1\right)x}{2}sin\frac{nx}{2}\)

\(\Rightarrow C=\frac{cos\frac{\left(n+1\right)x}{2}sin\frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Ủa nhìn lại thì câu 1 ko chứng minh được, đó là 1 đẳng thức sai:

Ví dụ: cho \(x=\frac{\pi}{3};y=\pi;n=2\)

\(\Rightarrow cos\frac{\pi}{3}+cos\left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)+cos\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)=3.cos\frac{\pi}{3}\)

Đây rõ ràng là 1 đẳng thức sai!