hãy tìm a,b,c biết abc=1
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\) \(\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 1 2017
Ta có: \(\left\{\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+1\ge2b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự ta có:\(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\\\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\left(abc=1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac+a+1}{ac+a+1}\right)=\frac{1}{2}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}abc=1\\a=b=c\\a,b,c>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=1\)
TN
21 tháng 3 2017
Bài này chả khó với lại đầy người đăng rồi
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\) và \(b^2+1\ge2b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\left(2\right);\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có:
\(VT\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\left(abc=1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac+a+1}{ac+a+1}\right)=\frac{1}{2}=VP\) (ĐPCM)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
5 tháng 12 2016
Ta có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)\(;b^2+1\ge2\sqrt{b^2\cdot1}=2b\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2}\left(ab+b+1\right)\left(1\right)\). Tương tự ta có:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}\left(bc+c+1\right)\left(2\right);\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(ac+a+1\right)\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1);(2) và (3) ta có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\) (vì abc=1)
Suy ra Đpcm. Dấu "=" khi a=b=c=1
16 tháng 6 2018
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
Mà: \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\)\(\frac{ab}{ab^2+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
3 tháng 5 2016
Ta có :\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\)\(>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
tương tự ta được \(b^2+2c^2+3>=2\left(bc+c+1\right)\)
\(c^2+2a^2+3>=2\left(ac+a+1\right)\)
theo đề bài abc=1
=> \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\)=\(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+ab+1}+\frac{b}{ab+b+1}\)=1
=> VT<=1/2
Dấu bằng khi a=b=c=1
1
3 tháng 5 2016
Ta có :$a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2$a2+2b2+3=(a2+b2)+(b2+1)+2$>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)$>=2ab+2b+2=2(ab+b+1)
tương tự ta được $b^2+2c^2+3>=2\left(bc+c+1\right)$b2+2c2+3>=2(bc+c+1)
$c^2+2a^2+3>=2\left(ac+a+1\right)$c2+2a2+3>=2(ac+a+1)
theo đề bài abc=1
=> $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}$1ab+b+1 +1bc+c+1 +1ca+a+1 =$\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+ab+1}+\frac{b}{ab+b+1}$1ab+b+1 +abb+ab+1 +bab+b+1 =1
=> VT<=1/2
Dấu bằng khi a=b=c=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 1 2020
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Ngo Hiệu - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
7 tháng 5 2021
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ab+b+1}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{bc+c+1}\) và \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ca+a+1}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
7 tháng 5 2021
A=\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\)+\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\)+\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
ta có: \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\)=\(\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\)\(\le\)\(\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
vì : a2+b2\(\ge\)2\(\sqrt{a^2b^2}\)=2ab
b2+1\(\ge\)2\(\sqrt{b^2x1}\)=2b
cmtt => A\(\le\)\(\frac{1}{2}\)x(\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{1}{bc+c+1}\)+\(\frac{1}{ca+a+1}\))
=\(\frac{1}{2}\)x(\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}\)+\(\frac{b}{cba+ab+b}\))
=\(\frac{1}{2}\)x (\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{ab}{ab+b+1}\)+\(\frac{b}{ab+b+1}\))=\(\frac{1}{2}\)x\(\frac{ab+b+1}{ab+b+1}\)=\(\frac{1}{2}\)
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1