Question

[Phạm Minh Quang]

1. Chứng minh A \(=11...122...25\) là số chính phương biết A có 2019 số 1 và 2020 số 2

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(22...2=\frac{2}{9}\left(99...9\right)=\frac{2}{9}\left(10^{2020}-1\right)\)

\(11...1=\frac{1}{9}\left(99...9\right)=\frac{1}{9}\left(10^{2019}-1\right)\)

Do đó:

\(A=\frac{1}{9}\left(10^{2019}-1\right).10^{2021}+\frac{2}{9}\left(10^{2020}-1\right).10+5\)

\(=\frac{1}{9}\left(10^{4040}-10^{2021}+2.10^{2021}-20+45\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left(10^{4040}+10^{2021}+25\right)=\frac{1}{9}\left(2^{2020}+5\right)^2=\left(\frac{2^{2020}+5}{3}\right)^2\)

Mà \(2^{2020}=4^{1010}\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2^{2020}+5⋮3\)

\(\Rightarrow\frac{2^{2020}+5}{3}\in Z\Rightarrow A\) là số chính phương

Answer 2

[Phạm Minh Quang]

@Nguyễn Việt Lâm giúp em với