Question

[Trần Anh Duy]

1. Cho tam giác ABC với A(3; 1), B(-2; 5), C(1; 1)

a) Viết phương trình tổng quát cạnh BC.

b) Viết phương trình đường cao hạ từ B của tam giác ABC.

c) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc cạnh BC.

2. Cho đường tròn (C): x² + y² - 2x + 6y - 6 = 0

a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

b) Viết phương trình đường thẳng Δ song song với đường thẳng d: 3x + 4y + 5 = 0 và cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;0\right)=-2\left(1;0\right)\) ; \(\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)\)

Đường thẳng BC nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(4\left(x+2\right)+3\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-7=0\)

Đường cao BH vuông góc AC nên nhận \(\left(1;0\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BH:

\(1\left(x+2\right)+0\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x+2=0\)

Đường tròn có bán kính bằng khoảng cách từ A đến BC

\(\Rightarrow R=d\left(A;BC\right)=\frac{\left|4.3+3.1-7\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{8}{5}\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{64}{25}\)

Câu 2:

Đường tròn tâm \(I\left(1;-3\right)\) bán kính \(R=\sqrt{1^2+3^2+6}=4\)

Do \(\Delta\) song song d nên pt \(\Delta\) có dạng: \(3x+4y+c=0\) (với \(c\ne5\))

\(S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}IA.IB=\frac{R^2}{2}\)

\(\Rightarrow\) Diện tích tam giác lớn nhất khi IAB vuông cân tại I

\(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=\frac{R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left|3.1+4.\left(-3\right)+c\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\left|c-9\right|=10\sqrt{2}\Rightarrow c=9\pm10\sqrt{2}\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3x+4y+9-10\sqrt{2}=0\\3x+4y+9+10\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)