Tìm GTNN của A=xy+yz+xz-12xyz với x,y,z là các số dương và x+y+z=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 7 2019
Áp dụng BĐT cosi ta có :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\) => \(xyz\le\frac{1}{27}\)
\(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge9xyz\)(do \(xyz\le\frac{1}{27}\))
=> \(A\ge9xyz-12xyz=-3xyz\ge-\frac{3}{27}=-\frac{1}{9}\)
MinA=-1/9 khi x=y=z=1/3
HL
1
B
16 tháng 11 2020
Áp dụng schwarz , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=9\Rightarrow \frac{xy+yz+zx}{xyz}\geq 9\Rightarrow xy+yz+zx\geq 9xyz\)
\(\Rightarrow A\geq 9xyz-12xyz=-3xyz\)
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
\(\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{27}\Rightarrow -3xyz\geq \frac{1}{9}\)
Vậy \(Min A=-\frac{1}{9}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
HH
Tìm GTNN
\(A=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\)với x,y,z là các số dương và \(x^2+y^2 +z^2=1\)
4
T
10 tháng 1 2016
Bạn dùng HĐT \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) nha
Bài làm :
tự c/m bđt trên.
Áp dụng t đc \(A^2\ge3\left(y^2+x^2+z^2\right)\)
->\(A\ge\sqrt{3}\)
Dấu - xảy ra khi x=x=z và x^2+y^2+z^2=1=>x=y=z=....
Gút lắc
G
1
2 tháng 11 2015
Áp dụng BĐT cô si
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\)
\(\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng vế với vế của ba BĐT :
=> \(A\ge x+y+z=1\)
Vậy ....
XX
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của P = \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 4 2021
\(P=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
\(P=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y+y+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+z+y+z\right)\)
\(P\le2\left(x+y+z\right)=2\)
\(P_{max}=2\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
CM được BĐT : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge9\)\(\Rightarrow\frac{yz+xy+xz}{xyz}\ge9\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz-9xyz\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge-3xyz\ge3.\left[-\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\right]=3.\left(-\frac{1}{27}\right)=\frac{-1}{9}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{-1}{9}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)