Tìm tham số m để: \(\left|\frac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}\right|\le2\) \(\forall x\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KM
2
2 tháng 1 2022
Điều kiện: \(x^2-mx+4\ne0,\forall x\inℝ\)
Vì \(x^2+x+4>0,\forall x\inℝ\)
nên \(\left|\frac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}\right|\le2,\forall x\inℝ\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+4\le2\left(x^2-mx+4\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m+1\right)x+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-5}{2}\le m\le\frac{-3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
\(y'=4mx^3+2mx=2mx\left(2x^2+1\right)\)
Do \(2x\left(x^2+1\right)>0\) ;\(\forall x>0\)
\(\Rightarrow y'\ge0\) ;\(\forall x>0\) khi và chỉ khi \(m>0\)
VP
1
8 tháng 3 2022
\(bpt\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}\right)^2-2^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}-2\right)\left(\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}+2\right)\le0\left(1\right)\)
\(bpt\) \(đúng\forall x\in R\Leftrightarrow x^2-mx+4\ne0\)
\(hay:x^2-mx+4=0\) \(vô\) \(nghiệm\)
\(\Leftrightarrow\Delta< 0\Leftrightarrow m^2-16< 0\Leftrightarrow-4< m< 4\)(1)
\(\Rightarrow x^2-mx+4>0\left(\forall x\in R\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+4>0\\x^2-mx+4>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}+2>0\left(\forall x\in R\right)\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+x+4-2x^2+2mx-8}{x^2-mx+4}\le0\)
\(\Leftrightarrow-x^2+x\left(1+2m\right)-4\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2m+1\right)x+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Delta\le0\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-16\le0\Leftrightarrow\dfrac{-5}{2}\le m\le\dfrac{3}{2}\)(2)
từ (1)(2)\(\Rightarrow\dfrac{-5}{2}\le m\le\dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
\(y'=x^2-2x+m\)
\(y'\ge0\) ; \(\forall x\in\left(1;3\right)\Leftrightarrow x^2-2x+m\ge0\) ;\(\forall x\in\left(1;3\right)\)
\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{\left(1;3\right)}\left(-x^2+2x\right)\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=-x^2+2x\) trên \(\left(1;3\right)\)
\(-\dfrac{b}{2a}=1\) ; \(f\left(1\right)=1\) ; \(f\left(3\right)=-3\)
\(\Rightarrow m\ge1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2021
1.a.
\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x-10\right)\ge m\)
Đặt \(x^2+3x-10=t\ge-\dfrac{49}{4}\)
\(\Rightarrow\left(t+2\right)t\ge m\Leftrightarrow t^2+2t\ge m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+2t\) với \(t\ge-\dfrac{49}{4}\)
\(-\dfrac{b}{2a}=-1\) ; \(f\left(-1\right)=-1\) ; \(f\left(-\dfrac{49}{4}\right)=\dfrac{2009}{16}\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge-1\)
\(\Rightarrow\) BPT đúng với mọi x khi \(m\le-1\)
Có 30 giá trị nguyên của m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2021
1b.
Với \(x=0\) BPT luôn đúng
Với \(x\ne0\) BPT tương đương:
\(\dfrac{\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)}{x^2}\ge m\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{4}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{4}{x}+3\right)\ge m\)
Đặt \(x+\dfrac{4}{x}-2=t\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\\t\le-6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow t\left(t+5\right)\ge m\Leftrightarrow t^2+5t\ge m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+5t\) trên \(D=(-\infty;-6]\cup[2;+\infty)\)
\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2}\notin D\) ; \(f\left(-6\right)=6\) ; \(f\left(2\right)=14\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge6\)
\(\Rightarrow m\le6\)
Vậy có 37 giá trị nguyên của m thỏa mãn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2021
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(mx^2+2m+\dfrac{1}{4}\right)=2m+\dfrac{1}{4}\)
Hàm liên tục tại x=0 khi: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow2m+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=0\)
\(\Leftrightarrow\left|\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\right|\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\ge\frac{1}{2}\\\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\le-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\left(x^2-mx+4\right)\ge x^2+x+4\\2\left(x^2-mx+4\right)\le-x^2-x-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-\left(2m+1\right)x+4\ge0\left(1\right)\\3x^2-\left(2m-1\right)x+12\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (2), do \(a=3>0\) nên ko tồn tại m để (2) thỏa mãn với mọi x
Xét (1), để BPT đúng với mọi x
\(\Leftrightarrow\Delta\le0\Leftrightarrow4m^2+4m-15\le0\)
\(\Rightarrow-\frac{5}{2}\le m\le\frac{3}{2}\)