Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\) lớn hơn hoặc bằng \((\dfrac{a+b}{2})^4 \)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 5 2022
a: Đặt \(\sqrt{x^2+x+3}=a\)
Ta sẽ có \(\dfrac{a^2}{a}+\dfrac{1}{a}=a+\dfrac{1}{a}\ge2\cdot\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}=2\left(đpcm\right)\)
b: Đặt \(\sqrt{x^2+x+3}=b\)
Ta sẽ có \(\dfrac{b^2+4}{b}=b+\dfrac{4}{b}\ge2\cdot\sqrt{b\cdot\dfrac{4}{b}}=4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 7 2021
a.
Ta có: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{3}.2^2=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
b.
\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.2^2=2\) (sử dụng kết quả \(a^2+b^2\ge2\) của câu a)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
c.
\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}ab.2ab\left(a^2+b^2\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^2\left(2ab+a^2+b^2\right)^2=2\)
d.
\(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\ge8.2+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=16+\dfrac{4}{2^2}=17\) (sử dụng kết quả câu b)
26 tháng 11 2017
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vì (a-b)2\(\ge\)0 luôn đúng nên \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\dfrac{a+b}{\sqrt{2}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}=\dfrac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}=1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\ge1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+2ab+1}\)
\(=1-\dfrac{\left(ab-1\right)\left(ab+1\right)}{\left(ab+1\right)^2}=1-\dfrac{ab-1}{ab+1}=\dfrac{2}{ab+1}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
AT
30 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)+\left(\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{ab-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)+b\left(a-b\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)\left(a+ab^2\right)-\left(b-a\right)\left(b+a^2b\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)\left(-\left(b-a\right)+ab\left(b-a\right)\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) (luôn đúng vì \(ab\ge1\))
SN
1
SN
1
5 tháng 2 2022
\(\left(a^2+b^2\right)\ge2ab\)
\(\left(a^2+1\right)\ge2a\)
Do đó: \(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 10 2018
Bài 1:
Với $a=0$ hoặc $b=0$ thì ta luôn có \(ab=a^ab^b\)
Với $a\neq 0; b\neq 0$ , tức là \(a,b\in (0;1]\)
Ta có: \(a^a-a=a(a^{a-1}-1)=a(\frac{1}{a^{1-a}}-1)=\frac{a}{a^{1-a}}(1-a^{1-a})\)
Với \(0\leq a\leq 1; 1-a\geq 0\Rightarrow a^{1-a}\leq 1\)
\(\Rightarrow 1-a^{1-a}\geq 0\)
\(\Rightarrow a^a-a=\frac{a}{a^{1-a}}(1-a^{1-a})\geq 0\)
\(\Rightarrow a^a\geq a\)
Tương tự: \(b^b\geq b\)
\(\Rightarrow a^ab^b\geq ab\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 10 2018
Bài 2:
Ta có :\(\frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c}\geq 3\left(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1-3a}{3^a}+\frac{1-3b}{3^b}+\frac{1-3c}{3^c}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{3^a}+\frac{a+c-2b}{3^b}+\frac{a+b-2c}{3^c}\geq 0\) (do $a+b+c=1$)
\(\Leftrightarrow (a-b)\left(\frac{1}{3^b}-\frac{1}{3^a}\right)+(b-c)\left(\frac{1}{3^c}-\frac{1}{3^b}\right)+(c-a)\left(\frac{1}{3^a}-\frac{1}{3^c}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)(3^a-3^b)}{3^{a+b}}+\frac{(b-c)(3^b-3^c)}{3^{b+c}}+\frac{(c-a)(3^c-3^a)}{3^{c+a}}\geq 0(*)\)
Ta thấy, với mọi \(a\geq b\Rightarrow 3^a\geq 3^b; a\leq b\Rightarrow 3^a\leq 3^b\)
Tức là \(a-b; 3^a-3^b\) luôn cùng dấu
\(\Rightarrow (a-b)(3^a-3^b)\geq 0\). Kết hợp với \(3^{a+b}>0, \forall a,b\)
\(\Rightarrow \frac{(a-b)(3^a-3^b)}{3^{a+b}}\geq 0\)
Tương tự: \(\frac{(b-c)(3^b-3^c)}{3^{b+c}}\geq 0; \frac{(c-a)(3^c-3^a)}{3^{c+a}}\geq 0\)
Do đó $(*)$ đúng, ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Áp dụng liên tiếp BĐT \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\le x^2+y^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^4=\left(\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{2}\right)^2\le\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2=\left(\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\right)\le\frac{a^4+b^4}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b
Vậy..................