Question

[Uzumaki Naruto]

cho x,y là các số thực thoả mãn \(2x^2-xy+y^2=1.\)Tìm  GTNN của biểu thức \(M=x^2-xy+y^2\)

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Với y = 0 ta có: \(x^2=\frac{1}{2}\)=> M = 1/2 (1)

Với y khác 0

Ta có: \(M=x^2-xy+y^2=\frac{x^2-xy+y^2}{2x^2-xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}{2\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}\)

Đặt: \(\frac{x}{y}=t\)

Ta có: \(M=\frac{t^2-t+1}{2t^2-t+1}\Leftrightarrow\left(2M-1\right)t^2+\left(1-M\right)t+M-1=0\)(1)

+) Nếu 2M - 1 = 0 <=> M = 1/2 (2) 

khi đó: t = 1

+) Nếu M khác 1/2

(1) có \(\Delta=\left(1-M\right)^2-4\left(2M-1\right)\left(M-1\right)=-7M+10M-3\)

Để (1) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)<=> \(\frac{3}{7}\le M\le1\)(3)

Từ (1); (2); (3) ta có GTNN của M = 3/7 

Dấu "=" xảy ra <=> t = 2 hay \(\frac{x}{y}=2\Leftrightarrow x=2y\)

Thay vào \(2x^2-xy+y^2=1.\) ta có: \(8y^2-2y^2+y^2=1.\)

<=> \(y=\pm\frac{1}{\sqrt{7}}\)

Với \(y=\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{7}}\)

Với \(y=\frac{-1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{-2}{\sqrt{7}}\)

Kết luận vậy min M = 1 tại ( x ; y ) \(\in\left\{\left(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}}\right);\left(\frac{-2}{\sqrt{7}};\frac{-1}{\sqrt{7}}\right)\right\}\)