Cho x,y>0 ;x+y+2=4xy
Tìm gtnn của x+y+1/(x+y)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
20 tháng 7 2019
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
20 tháng 7 2019
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
HN
0
NT
0
NT
0
DT
0
28 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a,b ta có \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2.\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=>\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}\)
suy ra \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).Áp dụng vào bài toán ta có :\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (Do \(x+y\le1\))
27 tháng 9 2018
ta có:
\(A=\dfrac{xy}{xy}-\dfrac{x-y}{y-x}.\left(\dfrac{x}{x}-\dfrac{y}{y}\right)\\ =1-\dfrac{x-y}{y-x}.\left(1-1\right)\\ =1-\dfrac{x-y}{y-x}.0\\ =1-0\\ =1\)
27 tháng 9 2018
ta có:
xyxy−x−yy−x.(xx−yy)
\(1-\dfrac{x-y}{y-x}.\left(1-1\right)\\ =1-\dfrac{x-y}{y-x}.0\\=1-0\\ =1 \)
\(x+y+2=4xy\le\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x+y-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge2\)
\(P=x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{3\left(x+y\right)}{4}+\frac{x+y}{4}+\frac{1}{x+y}\)
\(P\ge\frac{3.2}{4}+2\sqrt{\frac{x+y}{4\left(x+y\right)}}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Ok bạn