Cho a,b,c t/m a^2+b^2+ab+bc+ca<0
Chứng minh a^2+b^2<c^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
0
7 tháng 7 2019
\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(a-bc\right)\sqrt{\frac{1}{\left(a+b\right)^2\left(c+a\right)^2}}\le\frac{\frac{a-bc}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{\left(c+a\right)^2}}{2}=\frac{a-bc}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{2\left(c+a\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b-ca}{b+ca}\le\frac{b-ca}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b-ca}{2\left(a+b\right)^2}\)\(;\)\(\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{c-ab}{2\left(c+a\right)^2}+\frac{c-ab}{2\left(b+c\right)^2}\)
=> \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{a-bc+b-ca}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{b-ca+c-ab}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{a-bc+c-ab}{2\left(c+a\right)^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(1-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(1-a\right)}{2\left(b+c\right)\left(1-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)\left(1-b\right)}{2\left(c+a\right)\left(1-b\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NT
0
10 tháng 10 2021
1, Áp dụng BĐT cosi cho a,b,c>0
\(ab+bc\ge2\sqrt{ab^2c}=2b\sqrt{ac}\\ bc+ca\ge2\sqrt{abc^2}=2c\sqrt{ab}\\ ca+ab\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)
Cộng VTV 3 BĐT trên:
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge2\left(b\sqrt{ac}+a\sqrt{bc}+c\sqrt{ab}\right)\\ \Leftrightarrow ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)
10 tháng 10 2021
\(2,\)
Ta có
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cm ở câu 1
Suy ra đpcm
15 tháng 8 2019
Ta có: \(0\le\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)(1)
theo đề bài:
\(a^2+b^2+ab+bc+ac< 0\)
=> \(2\left(a^2+b^2+ab+bc+ac\right)< 0\)
=> \(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< 0\)(2)
Từ (1); (2) =>\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< \) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
=> \(a^2+b^2< c^2\)
NC
27 tháng 8 2020
a) Ta có: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(Vt\ge0\left(\forall a,b,c\right)\) nên dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
XO
27 tháng 8 2020
Ta có : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
= (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = 0
=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\left(\text{đpcm}\right)\)
b) Ta có : 2(x2 + t2) + (y + t)(y - t) = 2x(y + t)
=> 2x2 + 2t2 + y2 - t2 = 2xy + 2t
=> 2x2 + t2 + y2 = 2xt + 2xy
=> 2x2 + t2 + y2 - 2xt - 2xy = 0
=> (x2 - 2xy + y2) + (x2 + t2 - 2xt) = 0
=> (x - y)2 + (x - t)2 = 0
=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-t=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=t\end{cases}}\Rightarrow x=y=t\left(\text{đpcm}\right)\)
c) Ta có a + b + c = 0
=> (a + b + c)2 = 0
=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 0
=> a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
=> a2 + b2 + c2 = 0
=> a = b = c = 0
Khi đó A = (0 - 1)2003 + 02004 + (0 + 1)2005
= - 1 + 0 + 1 = 0
Vậy A = 0
HV
0
10 tháng 4 2021
1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=ab+bc+ca và a+b+c=3. Tính M=a2016+2015b2015+2020c
a2+b2+c2=ab+bc+ca
<=> 2( a2+b2+c2 ) =2( ab+bc+ca )
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0
Dễ chứng minh VT ≥ 0 ∀ a,b,c. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Lại có a+b+c=3 => a=b=c=1
từ đây bạn thế vào tính M nhé :))
10 tháng 4 2021
2.Cho x>y>0. Chứng minh \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
Ta có : \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
<=> \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)
<=> \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{x^3-x^2y+xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3-x^3+x^2y-xy^2+y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{2x^2y-2xy^2}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{2xy\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( đúng vì x > y > 0 )
=> đpcm
\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ca< 0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+c^2+2ab+2bc+2bc< c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)< c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(a+b+c\right)^2< c^2\)
Do \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+\left(a+b+c\right)^2\ge a^2+b^2\)
\(\Rightarrow c^2>a^2+b^2\)