Cho a,b,c t/m a^2+b^2+ab+bc+ca<0
Chứng minh a^2+b^2<c^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2021
Đề bài có nhầm lẫn gì ko nhỉ?
\(T=\dfrac{ab}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{bc}{b^2+c^2+2bc}+\dfrac{ca}{c^2+a^2+ca}\le\dfrac{ab}{2ab+ab}+\dfrac{bc}{2bc+bc}+\dfrac{ca}{2ca+ca}=1\)
VQ
cho số dương a,b,c. Tìm GTLN : \(\dfrac{ab}{a^2+ab+bc}+\dfrac{bc}{b^2+bc+ca}+\dfrac{ca}{c^2+ca+ab}\)
1
N
23 tháng 12 2018
\(VT=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{b}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+1}\)
\(\left(\dfrac{a}{b},\dfrac{b}{c},\dfrac{c}{a}\right)\rightarrow\left(x^3,y^3,z^3\right)\)\(\Rightarrow xyz=1\).
\(VT=\sum\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\le\sum\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\dfrac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c
26 tháng 3 2019
Cauchy-SChwarz:
\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab}{a^2+ab+bc}\le\frac{\sum_{cyc}\left(a^2b^2+ab^2c+abc^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\)
Dau "=" khi a=b=c\(\in R^+\)
B
4
24 tháng 12 2015
bài này tôi có thể làm đc nhưng có điều bạn phải tick cho tối đa
10 tháng 4 2017
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)
=> \(\dfrac{abc}{ac+bc}=\dfrac{abc}{ab+ac}=\dfrac{abc}{bc+ab}\)
=> ac + bc = ab + ac = bc + ab (do abc \(\ne0\))
=> ac + bc - ab - ac = 0
=> bc - ab = 0
=> b(c - a) = 0
Mà b \(\ne0\) nên c - a = 0 => c = a
Tương tự ta có: a = b
Từ đó có: a = b = c
Thay vào M được:
\(M=\dfrac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 12 2018
Do \(a,b,c\ne0\)
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ac}{a+c}\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{a+c}{ac}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{b}{bc}+\dfrac{c}{bc}=\dfrac{a}{ac}+\dfrac{c}{ac}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\\\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c\\b=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{a.a+a.a+a.a}{a^2+a^2+a^2}=\dfrac{3a^2}{3a^2}=1\)
TD
1
Q
26 tháng 6 2017
\(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ac\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\dfrac{a^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^2+b^2c+ac^2+bc^2+c^3+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(=\dfrac{a^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^3+b^2c+ac^2+bc^2+c^3+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-2ab^2c+2a^2bc+2abc^2}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}\)
HN
0
\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ca< 0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+c^2+2ab+2bc+2bc< c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)< c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(a+b+c\right)^2< c^2\)
Do \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+\left(a+b+c\right)^2\ge a^2+b^2\)
\(\Rightarrow c^2>a^2+b^2\)