cho abc là số thực ko âm tm ab+bc+ca=3. cmr 1/(a^2+2)+1/(b^2+2)+1/(c^2+2)<=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
0
4 tháng 10 2017
Dề sai. Cho \(a=c=0,b=\sqrt{2}\) thì được
\(0+\frac{2}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{3}\approx1,162>1\)
5 tháng 5 2018
\(a^2+1=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
tương tự \(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(b+c\right)=a^2b+b^2a+c^2a+a^2c+b^2c+c^2b+2abc\)
\(\Rightarrow\)VT=\(a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+a^2c+3abc\) =\(ab\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+ca\left(a+b\right)+c\left(ab+bc+ca\right)\)=a+b+c
ta có (a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)=3 nên a+b+c>=căn3(đccm)
TN
0
TN
0
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)( * )
cần chứng minh BĐT (*)
Thật vậy, Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel, ta có :
\(\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}=1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1