Question

[Nguyễn Hải Lâm]

Tìm GTNN của \(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)  biết x , y , z > 0 và 

\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1\)

Answer 1

[Kudo Shinichi]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\\\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\end{cases}}\)

Cộng theo từng vế 

\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}\)

\(\Rightarrow1\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)

\(\Rightarrow1\le x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\)

Ta có : \(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số :

\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)

Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Ta có: \(1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\)

=> \(x+y+z\ge1\)

Có: \(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z =1/3

Vậy min A = 1/2 <=> x = y = z = 1/3