CHO a,b>0 và a+b=1 CHỨNG MINH
(a+1/a)(b+1/b) lớn hơn hoặc bằng 25/4
MONG CÁC BẠN GIÚP
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
LN
0
Những câu hỏi liên quan
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
HV
4
21 tháng 2 2020
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
tại a=b=1/2
21 tháng 2 2020
thêm ít cách
Cách 1:
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:
\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(b+\frac{1}{a}\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)(1)
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)( tự CM nha )
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge25\)
\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 2:
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
Ta có: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\)
\(=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{16a^2}+\frac{15}{16a^2}\)
\(=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\left(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)+\left(\frac{15}{16b^2}+\frac{15}{16a^2}\right)\)
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}\ge\frac{1}{2}\)(3)
\(b^2+\frac{1}{16b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}\ge\frac{1}{2}\)(4)
\(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}\ge4\)(5)
\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge2\sqrt{\frac{15.15}{16.16a^2b^2}}=\frac{15}{8ab}\)(1)
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge\frac{15}{2}\)(6)
Cộng (3)+(4)+(5)+(6) ta được:
\(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+4=\frac{25}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 3:Làm tắt thui ạ
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\ge2ab+\frac{2}{ab}+4\)
\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+4\)
\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)+4\)
giống cách 2 rồi làm nốt
19 tháng 9 2019
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\)
Vì a > 0 và b > 0 \(\Rightarrow ab>0\)
Vậy \(\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow b^2+a^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
16 tháng 4 2021
bài này có nhiều hướng đi lắm =))
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge\frac{4}{a+b}\cdot\left(a+b\right)=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b
2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\); \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\cdot2\sqrt{ab}=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b
3. \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2+2=4\)(AM-GM)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
BH
3
DT
16 tháng 2 2022
\(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).\left(a-b\right)\ge4\)
t có cách k dùng bdt cô-si luon nek , mà chắc lớp 8 k hẻo đeo:>
BD
26 tháng 12 2016
A = ( a+1)(b+1)
= ab + a + b + 1
= 1 + 1 + 1 + 1
= 4
vì ab = 1 nên a\(\ge\)1
b\(\ge\)1
dấu bằng xảy ra khi a=b=1
26 tháng 12 2016
ta có
A = ( a+1)(b+1)
= ab + a + b + 1
= 1 + 1 + 1 + 1
= 4
giải thích
vì ab = 1 nên a>=1
b>=1
dấu bằng xảy ra khi a=b=1