Tìm abc nhỏ nhất sao cho abc = a3 + b3 + c3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 8 2021
TH1: a, b, c có ít nhất 1 số chi hết cho 7
=> abc chia hết cho 7
=> Đpcm
TH2: a, b, c không có số nào chia hết cho 7
=> a, b, c chia 7 dư từ 1 đến 6
=> a^3, b^3, c^3 chia 7 dư 1 hoặc 6 (đã được CM)
(Bạn có thể tự CM bằng công thức sau:
VD: a chia 7 dư r => a = 7k + r (với k là thương)
=> a^3 = (7k + r)^3 )
=> a^3, b^3, c^3 có ít nhất 2 số cùng số dư
=> (a^3 - b^3)(b^3 - c^3)(c^3 - a^3) có ít nhất 1 cặp số chia hết cho 7
=> Đpcm
31 tháng 10 2021
\(5,M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\\ M=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\\ M=1\left(1-3ab\right)=1-3ab\ge1-\dfrac{3\left(a+b\right)^2}{4}=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\\ M_{min}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
4 tháng 11 2021
Câu 5:
\(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)
\(M=a^3+b^3=\left(1-b\right)^3+b^3=1-3b+3b^2-b^3+b^3\)
\(=1-3b+3b^2=3\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=3\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)
\(minM=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
4 tháng 11 2021
Câu 7:
\(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc-ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng do a,b dương)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 4 2022
5.
Với mọi a;b ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{2}\)
\(M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=a^2+b^2-ab\)
\(M=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)
\(M_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
6.
Do \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=2>0\)
Mà \(a^2-ab+b^2>0\Rightarrow a+b>0\)
Mặt khác với mọi a;b ta có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) \(\Rightarrow-ab\ge-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
Từ đó:
\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^3-3.\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\left(a+b\right)=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^3\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le8\Rightarrow a+b\le2\)
\(N_{max}=2\) khi \(a=b=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 2 2022
Lời giải:
Tìm min:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^3+a^3+1\geq 3a^2$
$b^3+b^3+1\geq 3b^2$
$c^3+c^3+1\geq 3c^2$
$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow 2P+3\geq 9$
$\Leftrightarrow P\geq 3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $(a,b,c)=(1,1,1)$
----------------
Tìm max:
$a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2\leq 3$
$\Rightarrow a,b,c\leq \sqrt{3}$
Do đó: $a^3-\sqrt{3}a^2=a^2(a-\sqrt{3})\leq 0$
$\Rightarrow a^3\leq \sqrt{3}a^2$
Tương tự với $b,c$ và cộng theo vế:
$P\leq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)=3\sqrt{3}$
Vậy $P_{\max}=3\sqrt{3}$ khi $(a,b,c)=(\sqrt{3},0,0)$ và hoán vị.
TN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2023
Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a;b;c>0\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
Hay tam giác ABC đều
19 tháng 3 2020
bài này hình như có điều kiện \(a,b,c\ge1\)
Bài toán phụ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)(bạn tự chứng minh nhé biến đổi tương đương là thấy mà)
Ta có: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\frac{4}{1+abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)(đpcm)
19 tháng 3 2020
\( \dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} + \dfrac{1}{{abc}} \ge \dfrac{4}{{1 + abc}} \)
Ta có:
\(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} + \dfrac{1}{{1 + abc}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }} \ge \dfrac{4}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}\sqrt {ab{c^4}} } }} = \dfrac{4}{{1 + abc}}\)
Suy ra: \(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\)
Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Anh đã chỉnh câu hỏi của em dưới dạng công thức. Những lần sau đặt câu hỏi nhớ ghi dưới dạng công thức cho dễ nhìn, dễ hiểu để các bạn hỗ trợ em nhé! Chúc em học tốt cùng hoc24.
PT
1