Chứng minh rằng: \(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2>=ab+2bc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
1
LM
27 tháng 4 2017
\(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ac+8bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b-2c\right)^2\ge0\)(Hiển nhiên đúng)
Do trên đây tất cả đều là BĐT tương đương nên \(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\)
Đẳng thức xảy ra <=> a - 2b - 2c = 0
Vậy BĐT đã cho là đúng.
16 tháng 4 2018
Cách 1:(nếu đã học BĐT Bunhia)=>Áp dụng BĐT Bunbiacopxki ta có:
\(\frac{1^2}{a^2+2bc}+\frac{1^2}{b^2+2ac}+\frac{1^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Cách 2:chưa học BĐT ...
Với a,b,c>0 thì \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)(tự chứng minh)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Áp dụng ta có:\(BĐT\ge\frac{9}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
LH
16 tháng 4 2019
Ta chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) (a,b,c,x,y,z dương) (Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky))
\(\left[\frac{a^2}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\frac{b^2}{\left(\sqrt{y}\right)^2}+\frac{c^2}{\left(\sqrt{z}\right)^2}\right]\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z^2}\right]\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Ta có:
\(A=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}\)
\(2A=\frac{2bc}{a^2+2bc}+\frac{2ca}{b^2+2ac}+\frac{2ab}{c^2+2ab}\)
\(=\frac{a^2+2bc-a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2+2ca-b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2+2ab-c^2}{c^2+2ab}\)
\(=3-\left(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\right)\)
\(\le3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}=3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=3-1=2\)
=> A<=1
KN
19 tháng 7 2020
a,b,c dương
Ta viết lại BĐT thành: \(\frac{1}{\frac{a^2}{bc}+2}+\frac{1}{\frac{b^2}{ca}+2}+\frac{1}{\frac{c^2}{ab}+2}\le1\)
Đặt \(\frac{a^2}{bc}=x;\frac{b^2}{ca}=y;\frac{c^2}{ab}=z\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=1\end{cases}}\)và ta cần chứng minh \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\le1\)
Xét biểu thức\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\) \(\frac{\left(y+2\right)\left(z+2\right)+\left(z+2\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(y+2\right)}{\left(x+2\right)\left(y+2\right)\left(z+2\right)}\)
\(=\frac{\left(yz+2y+2z+4\right)+\left(zx+2z+2x+4\right)+\left(xy+2x+2y+4\right)}{\left(xy+2x+2y+4\right)\left(z+2\right)}\)
\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}{xyz+2\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+8}\)\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}{xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+8}\)\(\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}{xyz+3\sqrt{\left(xyz\right)^2}+\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+8}\)\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c
13 tháng 7 2020
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
AQ
1
PA
15 tháng 8 2017
Biến đổi tương đương:
\(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\) (1)
\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2\ge4ab-4ac+8bc\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(2b\right)^2+\left(2c\right)^2-2.a.2b+2.a.2c-2.2b.2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b+2c\right)^2\ge0\) luôn đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi a = 2(b - c)
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
13 tháng 8 2017
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
13 tháng 8 2017
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)