Cho a>0, b>0 và a+b = 1
CMR: 1/a+1 + 1/b+1 lớn hơn hoặc bằng 4/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
0
19 tháng 9 2019
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\)
Vì a > 0 và b > 0 \(\Rightarrow ab>0\)
Vậy \(\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow b^2+a^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
16 tháng 4 2021
bài này có nhiều hướng đi lắm =))
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge\frac{4}{a+b}\cdot\left(a+b\right)=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b
2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\); \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\cdot2\sqrt{ab}=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b
3. \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2+2=4\)(AM-GM)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
LX
0
BH
3
DT
16 tháng 2 2022
\(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).\left(a-b\right)\ge4\)
t có cách k dùng bdt cô-si luon nek , mà chắc lớp 8 k hẻo đeo:>
LT
1
31 tháng 5 2018
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
NG
0
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\)
\(=\frac{b+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
\(=\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
\(=\frac{3}{ab+a+b+1}\)
\(=\frac{3}{ab+2}\)