K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 2 2020

1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)

\(=ac+bc+c^2+ab\)

\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)

\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)

Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)

CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy /...

3 tháng 2 2020

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)

\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

6 tháng 10 2019

\(VT=\frac{ab+bc+ca}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{bc}+\frac{ab+bc+ca}{ca}\)

\(=3+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{a\left(b+c\right)}{bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\)(1)

Theo BĐT AM-GM: \(\frac{1}{2}\left[\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{a\left(b+c\right)}{bc}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b^2}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{2}\left[\frac{a\left(b+c\right)}{bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c^2}}\)

\(\frac{1}{2}\left[\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{a^2}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thay vào 1 ta sẽ thu được đpcm.

6 tháng 10 2019

Ý em là thay vào (1) !!

5 tháng 3 2020

Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)

Ta thấy trong ba số thực dương a;b;ca;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng 11 hoặc nhỏ hơn hay bằng 11. Giả sử đó là bbcc.

Khi đó ta có: (b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1(b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1 suy ra 2abc≥2ab+2ac−2a2abc≥2ab+2ac−2a

Do đó, a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1

Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh: a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)

⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0 (đúng)

Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1a=b=c=1.

6 tháng 3 2020

.....................?

22 tháng 6 2021

vì \(a+b+c=1\)

\(< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)

\(=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\)

\(=3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)

ta có pt:

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)\)

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\)

áp dụng bđt cô- si( cauchy) gọi pt là P 

\(P\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\frac{a^2+b^2}{4ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}\frac{b^2+c^2}{4bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}\frac{c^2+a^2}{4ca}}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

<=>ĐPCM

26 tháng 2 2021

Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:

\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)

Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).

Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1

26 tháng 2 2021

sai rồi nhé bạn