K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 10 2019

Bài này dùng Cauchy ngược dấu:

\(\Sigma\frac{2x^2}{x+y^2}=\Sigma\frac{2x\left(x+y^2\right)-2xy^2}{x+y^2}=2\left(x+y+z\right)-2.\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\)

Từ đây ta có thể quy bđt vế chứng minh: \(\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\le\frac{x+y+z}{2}\)

Ta có: \(VT\le\Sigma\frac{xy^2}{2\sqrt{xy^2}}=\Sigma\frac{\sqrt{xy.y}}{2}\le\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{4}\)

Như vậy cần chứng minh: \(xy+yz+zx\le x+y+z\)

Ta có: \(VT=\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\le x+y+z\)

Từ đây có đpcm:)

5 tháng 1 2018

ko biết

5 tháng 1 2018

?????

AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 4 2020

Lời giải:

BĐT \(\Leftrightarrow (9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)(xy+yz+xz)\geq 36xyz(*)\)

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM:

\(9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1+1+...+1+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)

\(xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

Nhân theo vế ta có BĐT $(*)$ luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{y+2z}{27}+\frac{y+2z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+2z)^2}.\frac{y+2z}{27}.\frac{y+2z}{27}}=\frac{x}{3}$

$\frac{y^3}{(z+2x)^2}+\frac{z+2x}{27}+\frac{z+2x}{27}\geq \frac{y}{3}$

$\frac{z^3}{(x+2y)^2}+\frac{x+2y}{27}+\frac{x+2y}{27}\geq \frac{z}{3}$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$\sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{x+y+z}{9}\geq \frac{x+y+z}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}\geq \frac{2}{9}(x+y+z)$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

3 tháng 5 2018

\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)

\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)

20 tháng 4 2017

ah cả x,y,z >0 nữa

21 tháng 4 2017

 nhân thêm x,y,z vào từng phân thức rồi sử dụng bđt schwarz

22 tháng 5 2017

\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)

NV
14 tháng 5 2020

\(\sqrt{x^2+y^2+y^2}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^4}}=\sqrt{3}.\sqrt[3]{xy^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt[3]{xy^2}}{z}+\frac{\sqrt[3]{yz^2}}{x}+\frac{\sqrt[3]{zx^2}}{y}\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{xy^2.yz^2.zx^2}}{xyz}}=3\sqrt{3}.\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{x^3y^3z^3}}{xyz}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

14 tháng 5 2020

@Nguyễn Việt Lâm