\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
chứng tỏ a=b=c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
12 tháng 3 2017
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{b+c+a}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{d+b+a}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+b+a}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+b+a}>1\left(đpcm\right)\)
26 tháng 6 2019
Bài 1:
Có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a};\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+c+b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\\ \Rightarrow A>\frac{a+b+c}{a+b+c}\Rightarrow A>1\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a};\frac{c}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+c+b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+a}+\frac{c+b}{a+c+b}\\ \Rightarrow A< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}\Rightarrow A< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\Rightarrow A< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\Rightarrow A< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< A< 2\left(đpcm\right)\)
26 tháng 6 2019
Bài 2 ;
\(\frac{3}{1.4}+\frac{3}{4.7}+\frac{3}{7.11}+...+\frac{3}{91.94}\)
= \(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+....+\frac{1}{91}-\frac{1}{94}\)
= \(1-\frac{1}{94}< 1\)
Vậy ........(đpcm )
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
16 tháng 9 2023
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\); \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + 2c}}{{b + 2d}}\)
Như vậy, \(\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{a + 2c}}{{b + 2d}}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 4 2019
a/
Biến đổi tương đương:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(a^2y+b^2x\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu đúng (đpcm), dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
b/
Mở rộng cho 3 số, ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Vậy \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với x, y, z dương
Mặt khác ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) \(\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Áp dụng:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{\left(a^2\right)^2}{ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{bc}+\frac{\left(c^2\right)^2}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
11 tháng 7 2015
+) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\) => \(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)
+) hiển nhiên
+) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1\) => \(\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\)
23 tháng 6 2017
mình không viết phân số được nên bạn thông cảm nha!
a) 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 < 44
=> 363/140 < 44
=> 363/140 < 6160/140
=> 363 < 6160
TN
4 tháng 9 2017
Theo đề ta có :
\(\frac{b}{a-c}=\frac{a+b}{c}=\frac{a}{b}\)
* Đầu tiên, ta xét
* \(\frac{b}{a-c}=\frac{a}{b}\):
\(\Rightarrow b^2=a\left(a-c\right)\) \(=a^2-ac\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=ac\)(1)
* Xét \(\frac{a+b}{c}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)b=ac\)
. Từ (1) ta thay \(ac=a^2-b^2\):
\(\Rightarrow\)\(\left(a+b\right)b=a^2-b^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)b=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow b=a-b\Rightarrow a=b+b=2b\)(2)
* Xét \(\frac{b}{a-c}=\frac{a+b}{c}\):
\(\Rightarrow bc=\left(a-c\right)\left(a+b\right)\)(với a = 2b)
\(\Rightarrow bc=\left(2b-c\right)\left(2b+b\right)\)
\(\Rightarrow bc=\left(2b-c\right).3b\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{b}=\frac{\left(2b-c\right).3b}{b}\)
\(\Rightarrow c=\left(2b-c\right).3\)
\(\Rightarrow c=6b-3c\)
\(\Rightarrow6b=c+3c=4c\)(3)
Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\)ta có :
\(a=2b\) và \(6b=4c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{8}=\frac{b}{4}\)và \(\frac{b}{4}=\frac{c}{6}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{8}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}\)(đpcm)
4 tháng 9 2017
\(\frac{b}{a-c}=\frac{a+b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{b+\left(a+b\right)+a}{a-c+c+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=2\Leftrightarrow a=2b;\frac{a+b}{c}=2\Leftrightarrow a+b=2c\Leftrightarrow2b+b=2c\Leftrightarrow3b=2c\)
Ta có: \(\frac{a}{8}=\frac{2b}{8}=\frac{b}{4};\frac{c}{6}=\frac{2c}{12}=\frac{3b}{12}=\frac{b}{4}\)
=> \(\frac{a}{8}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}\)
V
3
LA
2 tháng 4 2019
Ta có
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế của 3BDT trên
\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) (*)
Ta có
\(\frac{a}{a+b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{c}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự
\(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+c}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên, có
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (**)
Từ (*) và (**) => ĐPCM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 4 2019
Chỉ đúng với điều kiện a, b, c dương
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\); \(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\); \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Lại có:
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\); \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\); \(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+a+b+c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1.b=b\left(1\right)\\b=1.c=c\left(2\right)\\c=1.a=a\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1); (2); (3) ⇒ a =b =c
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=1.b=b\\\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=1.c=c\\\frac{c}{a}=1\Rightarrow c=1.a=a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!