Cho a, b,c >0. C/m a^3/(b+2c)^2 +b^3/(c+2a)^2 +c^3/(a+2b)^2 >= 2/9(a+b+c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CQ
0
15 tháng 10 2021
1.
\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)< 0\\ \Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]< 0\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\left(1\right)\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tg nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a-b< c\\a+b>c\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b+c>0\\a-b-c< 0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\)
Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng (do 3 dương nhân 1 âm ra âm)
Từ đó ta được đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 6 2021
Ta có: \(P\le\dfrac{a}{2a+2b+2}+\dfrac{b}{2b+2c+2}+\dfrac{c}{2c+2a+2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1}\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b+1}-1+\dfrac{b}{b+c+1}-1+\dfrac{c}{c+a+1}-1\le-2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b+1}{a+b+1}+\dfrac{c+1}{b+c+1}+\dfrac{a+1}{c+a+1}\ge2\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\dfrac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(a+c+1\right)}+\dfrac{\left(b+1\right)^2}{\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)}+\dfrac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c+3\right)^2}{ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+6}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)+6\left(a+b+c\right)+12}{ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+6}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
BD
0
CD
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
3 tháng 5 2022
Ta có: \(1=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
\(P=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}=\dfrac{a^4}{ab+2ca}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ca+2bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
25 tháng 5 2018
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
=> bc+ac+ab=0
ta có
\(bc+ac=-ab\)
<=> \(\left(bc+ac\right)^2=a^2b^2\)
<=> \(b^2c^2+a^2c^2+2abc^2=a^2b^2\)
<=> \(b^2c^2+a^2c^2-a^2b^2=-2abc^2\)
tương tự
\(a^2b^2+b^2c^2-c^2a^2=-2ab^2c\)
\(c^2a^2+a^2b^2-b^2c^2=-2a^2bc\)
thay vào E ta đc
\(E=\dfrac{-a^2b^2c^2}{2ab^2c}-\dfrac{a^2b^2c^2}{2abc^2}-\dfrac{a^2b^2c^2}{2a^2bc}\)
=\(-\dfrac{ac}{2}-\dfrac{ab}{2}-\dfrac{bc}{2}=\dfrac{-\left(ac+ab+bc\right)}{2}=0\) (vì ac+bc+ab=0 cmt)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
13 tháng 6 2017
Từ \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2b^2c^2\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1\)
bài này tui làm rồi ở đây