cho a.b>0 (a+b<=1) tim GTNN cua N=\(\sqrt{a+b}\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MB
4
S
28 tháng 1 2019
\(\text{Giải}\)
\(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
Ấp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(P=\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.\frac{3}{4}\)
\(\text{ÁP DỤNG BĐT Cô-si Ta đc:}\)\(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(\sqrt{ab}\right)}{4\sqrt{ab}\left(a+b\right)}}=1\)
Theo BĐT Cô si ta đc:\(\frac{3}{4}.\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{3}{2}.\text{Dấu "=" xảy ra khi: a=b}\)
DV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 9 2019
\(M=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{1}{a+b}+\frac{3}{a+b}\)
\(\Rightarrow M\ge2\sqrt{\frac{a+b}{a+b}}+3=5\)
\(\Rightarrow M_{min}=5\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
DV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 9 2019
\(J=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{2\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
\(\Rightarrow J_{min}=6\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
RR
13 tháng 5 2018
a) Với x = 25 thì \(N=\frac{\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}\)
b) Ta có \(M=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(M=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
Suy ra \(S=M.N=\frac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
14 tháng 2 2016
\(S=ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge8-15ab\) (1)
\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-15ab\ge-\frac{15}{4}\Leftrightarrow8-15ab\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)
VẬy GTNN của S 17/4 tại a = b = 1/2
HP
15 tháng 10 2020
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
\(\sqrt{a+b}.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)
\(=\sqrt{2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\ge\sqrt{2+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}}=\sqrt{2+2}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi a = b.