Cho ba số x,y,z thuộc [-1,2]. Chứng minh rằng: x+y+z< hoạc =3+xy+yz+xz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
1
31 tháng 10 2021
Đề lạ thế bạn ơi! Vế trái luôn không âm mà vế phải luôn không dương nên đây là điều hiển nhiên.
Mình nghĩ đề phải chứng minh thế này:
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
Nếu thế thì cách làm như sau:
Ta có: Do x, y, z không âm nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2\sqrt{xy}\ge0\\y+z-2\sqrt{yz}\ge0\\z+x-2\sqrt{xz}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)
17 tháng 6 2016
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
T
19 tháng 1 2021
Cách này đòi hỏi sự kiên nhẫn và kinh nghiệm.
Cần chứng minh:
\({\dfrac {4 \left( xy+zx+yz \right) \left( x+y+z \right) ^{7}}{ 243}}- \left( {x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} \right) \left( {x}^{3}{y}^{3}+{ x}^{3}{z}^{3}+{y}^{3}{z}^{3} \right) \geqslant 0.\quad(1) \)
Đặt
\(\text{M}=4\,{z}^{7}+ \left( 757\,x+757\,y \right) {z}^{6}+84\, \left( x+y \right) ^{2}{z}^{5}+140\, \left( x+y \right) ^{3}{z}^{4}\\\quad\quad+ \left( 1598 \,{x}^{4}+4205\,{x}^{3}y+4971\,{x}^{2}{y}^{2}+4205\,x{y}^{3}+1598\,{y} ^{4} \right) {z}^{3}\\\quad \quad+84\, \left( x+y \right) ^{5}{z}^{2}+28\, \left( x +y \right) ^{6}z\geqslant 0 \)
Ta có:
\((1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{243}xy\cdot M+{\dfrac { \left( x+y \right) \left( {x}^{2}+11\,xy+{y}^{2} \right) \left( 2\,x-y \right) ^{2} \left( x-2\,y \right) ^{2}xy}{243}}\\\quad\quad+{ \dfrac { \left( x+y \right) z \left( x+y+z \right) \left( {x}^{2}+2\,x y+11\,zx+{y}^{2}+11\,yz+{z}^{2} \right) \left( 2\,y-z+2\,x \right) ^{ 2} \left( y-2\,z+x \right) ^{2}}{243}}\geqslant 0. \)
Đẳng thức xảy ra khi $...$
TN
27 tháng 5 2018
\(VT=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)+2\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2-2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=\: 6\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-2\cdot\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+2\cdot\frac{9}{4\cdot\frac{3}{4}}=9\)
C
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 2 2023
Lời giải:
BĐT cần chứng mình tương đương với:
$(xy+yz+xz)^2\geq 3(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2xyz(x+y+z)\geq 3xyz(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2\geq xyz(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2-xyz(x+y+z)\geq 0$
$\Leftrightarrow 2(xy)^2+2(yz)^2+2(xz)^2-2xyz(x+y+z)\geq 0$
$\Leftrightarrow (xy-yz)^2+(yz-xz)^2+(xz-xy)^2\geq 0$
(luôn đúng với mọi $x,y,z\geq 0$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
E
0