CMR:\(\frac{87}{89}< \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2011\sqrt{2010}}< \frac{88}{45}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 7 2016
mới giải đucợ 1 vế nè. xem tạm nhé
đặt cái biểu thức là S đi ^^
ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}.\frac{1}{n\left(n+1\right)}
=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)
.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
< \(\sqrt{n}.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right).\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
=\(\sqrt{n}.\frac{2}{\sqrt{n}}.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
áp dụng ta được: \(\frac{1}{2\sqrt{1}}< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{2}}< \frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\)
...................................................
\(\frac{1}{2011\sqrt{2010}}< \frac{2}{\sqrt{2010}}-\frac{2}{\sqrt{2011}}\)
=> \(S< 2-\frac{2}{\sqrt{2011}}< \frac{88}{45}\)
còn một vế nữa để mai nhé ^^ giờ mình bận :P hì
4 tháng 7 2016
mình bị ấn sai r :3 \(\frac{1}{3\sqrt{2}}< \frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\)đó nhá.sr nha ^^
1 tháng 10 2016
Xét với n là số tự nhiên không nhỏ hơn 1 , ta có
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng điều trên :
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2010\sqrt{2009}}< \)
\(< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2009}}-\frac{1}{\sqrt{2010}}\right)=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2010}}\right)< \)
\(< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2025}}\right)=\frac{88}{45}\)
Y
24 tháng 5 2019
\(\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1\)
\(>4n^2+4n=4n\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow2n+1>\sqrt{4n\left(n+1\right)}=2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}< \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}\) \(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Do đó : \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\)
\(< \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}\right)\)
\(< \frac{1}{2}\)
13 tháng 8 2019
Xét dạng tổng quát :
\(\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{k^2+1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(k^2+1\right)\left(k+1\right)^2+k^2}{k^2\left(k+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2\left(k+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(k^2+k+1\right)^2}{k^2\left(k+1\right)^2}}=\frac{k^2+k+1}{k\left(k+1\right)}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)
Áp dụng vào bài toán :
\(A=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2010^2}+\frac{1}{2011^2}}\)
\(A=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\)
\(A=2009-\frac{1}{2011}+\frac{1}{2}\)
p/s: không biết tính có đúng ko nữa, bạn nhớ check lại. Mình nhớ bài này còn có cách khác ngắn hơn nhưng quên rồi :D
1 tháng 10 2016
Xét với n là số tự nhiên không nhỏ hơn 1
Ta có : \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng điều trên ta có
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2002\sqrt{2001}+2001\sqrt{2002}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2001}}-\frac{1}{\sqrt{2002}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2002}}< 1-\frac{1}{\sqrt{2025}}=1-\frac{1}{45}=\frac{44}{45}\)
1 tháng 10 2016
ta chứng minh công thức tổng quát sau
\(\frac{1}{\left[n+1\right]\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left[n+1\right]}\left[\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right]}\)
=\(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left[n+1\right]}\left[n+1-n\right]}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left[n+1\right]}}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
ta có \(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
........
\(\frac{1}{2002\sqrt{2001}+2001\sqrt{2002}}=\frac{1}{\sqrt{2001}}-\frac{1}{\sqrt{2002}}\)
=> \(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+..+\frac{1}{2002\sqrt{2001}+2001\sqrt{2002}}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2001}}-\frac{1}{\sqrt{2002}}\)
=\(1-\frac{1}{\sqrt{2002}}< \frac{44}{45}\)
\(\frac{87}{89}< \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2011\sqrt{2010}}< \frac{88}{45}\)
Đặt \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2011\sqrt{2010}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k\left(k+1\right)}}>\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}>\frac{1}{\left(k+1\right)k}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}>A>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{\sqrt{2011}}>A>1-\frac{1}{2011}\)
\(\Rightarrow\frac{88}{45}>\frac{2011-\sqrt{2011}}{2011}>A>\frac{2010}{2011}>\frac{87}{89}\)
\(\Rightarrow\frac{87}{89}< \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2011\sqrt{2010}}< \frac{88}{45}\)
Phạm Thị Diệu Huyền chà chà gắt quá