Cho x+y=1.Chứng minh rằng x2+y2\(\ge\)\(\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
1
2 tháng 5 2022
\(x+y=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
--> \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)
CM
7 tháng 10 2018
x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 ⇔ ( 1 + x ) 2 ( 1 + y ) 2 = 1 − x y ⇒ ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 - x y 2 ⇔ 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 − 2 x y + x 2 y 2 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x y = 0 ⇔ x + y 2 = 0 ⇔ y = − x ⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = x 1 + x 2 − x 1 + x 2 = 0
TT
0
10 tháng 5 2017
x^2 + y^2 + x^2 >= 1/3
<=> x^2 + y^2 + x^2 >= (x + y + z)/3 ( vì x + y + z = 1)
<=> x^2 + y^2 + x^2 - (x + y + z)/3 >= 0
<=> 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - x - y - z >= 0
<=> x(3x - 1) + y(3y - 1) + z(3z - 1) >= 0
<=> x(3x - x - y - z) + y(3y - x - y - z) + z(3z - x - y - z) >= 0
<=> x(2x - y - z) + y(2y - x -z) + z(2z - x - y) >= 0
<=> 2x^2 - xy - xz + 2y^2 - xy - yz + 2z^2 - xz - yz >= 0
<=> (x^2 - 2xy - y^2) + (y^2 - 2yz - z^2) + (x^2 - 2xz - z^2) >= 0
<=> (x - y)^2 + (y - z)^2 - (x - z)^2 >= 0 (đúng)
=> x^2 + y^2 + x^2 >= 1/3
Dấu = xảy ra <=> x = y = z =1/3
<=> x^2 + y^2 + x^2 >= (x + y + z)/3 ( vì x + y + z = 1)
<=> x^2 + y^2 + x^2 - (x + y + z)/3 >= 0
<=> 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - x - y - z >= 0
<=> x(3x - 1) + y(3y - 1) + z(3z - 1) >= 0
<=> x(3x - x - y - z) + y(3y - x - y - z) + z(3z - x - y - z) >= 0
<=> x(2x - y - z) + y(2y - x -z) + z(2z - x - y) >= 0
<=> 2x^2 - xy - xz + 2y^2 - xy - yz + 2z^2 - xz - yz >= 0
<=> (x^2 - 2xy - y^2) + (y^2 - 2yz - z^2) + (x^2 - 2xz - z^2) >= 0
<=> (x - y)^2 + (y - z)^2 - (x - z)^2 >= 0 (đúng)
=> x^2 + y^2 + x^2 >= 1/3
Dấu = xảy ra <=> x = y = z =1/3
10 tháng 5 2017
Cách làm của Nguyễn Đặng Thanh Trúc hơi dài , mik làm cchs khác nhé :
==================
Áp dụng BDDT Co- si dạng engel
Ta có : x2 + y2 + z2 \(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi : x=y=z =1/3
NK
1
21 tháng 1 2018
Ta có: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+xy^2-y-x^2y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\)(đúng với mọi x,y>=1)
\(x+y>=2\sqrt{xy}\)
=>\(\frac{1}{4}>=xy\)
Ta phải cm \(x^2+y^2>=\frac{1}{2}\)
=> \(\left(x+y\right)^2>=\frac{1}{2}+2xy\)
=> \(\frac{1}{2}>=2xy\) (luôn đúng)
BĐT \(\Leftrightarrow\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+\left(x+y-\frac{1}{2}\right)\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)(đúng)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
True?