CMR nếu :
\(\frac{x-y}{x+y}=\frac{z-x}{z+x}\) Thì x2 = yz.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KK
28 tháng 12 2016
Giả sử điều mình cần chứng minh là đúng
Ta có \(\frac{-8}{x}=\frac{1}{y}=\frac{10}{z}< =>\frac{x}{-8}=\frac{y}{1}=\frac{z}{10}\)
Đặt \(\frac{x}{-8}=\frac{y}{1}=\frac{z}{10}=m\)
\(=>\left\{\begin{matrix}x=-8m\\y=m\\z=10m\end{matrix}\right.\)
Thế vào điều đề bài cho ta có :
\(\frac{x^2-yz}{2}=\frac{y^2-xz}{3}=\frac{z^2-yx}{4}\)
\(=>\frac{\left(-8m\right)^2-10m^2}{2}=\frac{m^2-\left(-80m^2\right)}{3}=\frac{\left(10m\right)^2-\left(-8m^2\right)}{4}\)
\(=>\frac{64m^2-10m^2}{2}=\frac{m^2+80m^2}{3}=\frac{100m^2+8m^2}{4}\)
\(=>\frac{54m^2}{2}=\frac{81m^2}{3}=\frac{108m^2}{4}\)
\(=>27m^2=27m^2=27m^2\) (Điều phải chứng minh)
22 tháng 10 2016
Đặt \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}=k\)
\(\Rightarrow\begin{cases}a=\frac{x^2-yz}{k}\\b=\frac{y^2-zx}{k}\\c=\frac{z^2-xy}{k}\end{cases}\)
Ta có:
\(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{\left(\frac{x^2-yz}{k}\right)^2-\frac{y^2-zx}{k}.\frac{z^2-xy}{k}}{x}=\frac{\frac{x^4-2x^2yz+\left(yz\right)^2}{k^2}-\frac{\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}{k^2}}{x}\)
\(=\frac{\frac{\left(x^4-2x^2yz+y^2z^2\right)-\left(y^2z^2-z^3x-xy^3+x^2zy\right)}{k^2}}{x}\)
\(=\frac{\frac{x^4-2x^2yz+y^2z^2-y^2z^2+z^3x+xy^3-x^2zy}{k^2}}{x}=\frac{x^4++z^3x+xy^3-3x^2yz}{k^2}.\frac{1}{x}=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{k^2}\)
Tương tự thay a;b;c vào \(\frac{b^2-ca}{y};\frac{c^2-ab}{z}\) ta cũng được \(\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{k^2}\)
Vậy \(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\left(đpcm\right)\)
13 tháng 7 2017
Ta có :
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}=\frac{xyz}{z\left(x+y\right)}=\frac{xyz}{x\left(y+z\right)}=\frac{xyz}{y\left(x+z\right)}\)
\(\Rightarrow z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)=y\left(z+x\right)\)
Từ \(z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)\Leftrightarrow xz+yz=xy+xz\Leftrightarrow yz=xy\Rightarrow x=z\) (1)
Từ \(x\left(y+z\right)=y\left(x+z\right)\Leftrightarrow xy+xz=xy+yz\Leftrightarrow xz=yz\Rightarrow x=y\) (2)
Từ \(z\left(x+y\right)=y\left(z+x\right)\Leftrightarrow xz+yz=yz+xy\Leftrightarrow xz=xy\Rightarrow z=y\) (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) \(\Rightarrow x=y=z\) (đpcm)
17 tháng 2 2019
Đk: $x\geq \frac{1}{2}$
Pt $\Leftrightarrow 4x^2+3x-7=4(\sqrt{x^3+3x^2}-2)+2(\sqrt{2x-1}-1)$
$\Leftrightarrow +4\frac{(x-1)(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+4\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}+1}-(x-1)(4x+7)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)[\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-(4x+7)]=0$
$\Leftrightarrow x=1\vee \frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7=0$ $(*)$
Xét hàm số $f(x)=\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7,x\in [\frac{1}{2};+\infty )$ thì $f(x)>0,\forall x\in [\frac{1}{2};+\infty )$
$\Rightarrow $ Pt $(*)$ vô nghiệm
NT
1
VT
28 tháng 10 2017
ta caàn chứng minh bđt
\(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}\ge\frac{x}{x+xz}+\frac{y}{y+yz}=\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+z}=\frac{2}{1+z}\)
tương tự + vào, dùng svác sơ
26 tháng 4 2020
Ta có : \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\)
\(=\frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2010y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2010z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3xy^2+3x^2y+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\frac{x-y}{x+y}=\frac{z-x}{z+x}\Rightarrow\left(x-y\right)\left(z+x\right)=\left(z-x\right)\left(x+y\right).\)
\(\Rightarrow xz+x^2-yz-xy=zx+zy-x^2-xy\)
\(\Rightarrow x^2-yz=zy-x^2\)
\(\Rightarrow2x^2=2yz\Rightarrow x^2=yz\)
Ta có : \(\frac{x-y}{x+y}=\frac{z-x}{z+x}=k\)
=> \(\hept{\begin{cases}x-y=k(x+y)\\z-x=k(z+x)\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}x(1-k)=-y(1+k)\\z(1-k)=-x(1+k)\end{cases}}\)
=> \(\frac{x(1-k)}{z(1-k)}=\frac{-y(1+k)}{-x(1+k)}\)
=> \(\frac{x}{z}=\frac{y}{x}\Rightarrow x^2=yz\)