Cho xy+yz+zx=5
Tìm min A= 3x2 + 3y2 +z2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NA
0
24 tháng 8 2021
a)\(A=3x^2+6xy+3y^2-3z^2=3\left(x^2+2xy+y^2-z^2\right)=3\left[\left(x+y\right)^2-z^2\right]=3\left(x+y-z\right)\left(x+y+z\right)\)b) \(A=\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1=\left(x+y-1\right)^2\)
c) \(A=x^2+y^2+2xy+yz+zx=\left(x+y\right)^2+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\)
27 tháng 8 2015
Ta có \(2A=20x^2+20y^2+2z^2=\left(z^2+16x^2\right)+\left(z^2+16y^2\right)+4\left(x^2+y^2\right)\)
\(\ge2z\cdot4x+2z\cdot4y+4\cdot2xy=8\left(xy+yz+zx\right)=8\to A\ge4.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(z=4x=4y,1=xy+yz+zx=x^2+4x^2+4x^2=9x^2\to x=y=\pm\frac{1}{3},z=\pm\frac{4}{3}.\)
Vậy giá trị bé nhất của \(A\) bằng \(4.\)
ND
0
TN
0
24 tháng 12 2020
nhờ mn giúp mk bài này vs ạ
mk đang cần gấp !
cảm ơn mn nhiều
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)
\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)
Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)
Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)
\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)
BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\)
Ta có:
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)
Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm
25 tháng 6 2017
\(A=3x^2+3y^2+z^2\ge0;\forall x,y,z\in R\)Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z = 0
Vậy minA = 0 khi x = y = z = 0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 1
\(\sqrt{x^2+2024}=\sqrt{x^2+xy+yz+zx}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y^2+2024}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}\)
\(\sqrt{z^2+2024}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2024}{3}\)
Ta có:
\(2A=6x^2+6y^2+2z^2=\left(4x^2+z^2\right)+\left(4y^2+z^2\right)+\left(2x^2+2y^2\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(2A\ge4\left(xy+yz+zx\right)=20\)
\(\Rightarrow A\ge10\)
\(''=''\Leftrightarrow x=y=1,z=2\)
Thăn kiuuu bạn nè 😗